Question

Верно ли, что число способов распределения трёх одинаковых путёвок между 5 сотрудниками и число способов распределения 3 призовых мест между 5 участниками равны? Объясните ответ.

Answer 1

Нет, утверждение неверно. Ключевое отличие состоит в том, что путевки одинаковы, а возможные призовые места - разные: первое, второе и третье (или золото, серебро и бронза).

Число способов, которыми можно распределить три одинаковые путевки между пятью сотрудниками, равно числу сочетаний (порядок выбора не важен) из 5 элементов по 3:

$C_5^3=\dfrac{5!}{3!\cdot(5-3)!} =\dfrac{5\cdot4\cdot3}{1\cdot2\cdot3} =10$

Число способов, которыми можно распределить три призовых места между пятью участниками, равно числу размещений (порядок выбора важен) из 5 элементов по 3:

$A_5^3=\dfrac{5!}{(5-3)!} =5\cdot4\cdot3=60$

Таким образом:

$C_5^3\neq A_5^3$

Ответ: утверждение неверно