Question

Проверьте, что: sin 75° + sin 15° cos 75º cos 15° = 0

Answer 1

Ответ:

Проверить, что   $\bf sin75^\circ +sin15^\circ \cdot cos75^\circ \cdot cos15^\circ =0$  .

$\bf sin75^\circ +sin15^\circ \cdot cos75^\circ \cdot cos15^\circ =sin75^\circ +(sin15^\circ \cdot cos15^\circ )\cdot cos75^\circ =\\\\\\=sin75^\circ +\dfrac{1}{2}\, sin30^\circ \cdot cos75^\circ =sin75^\circ +\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot cos75^\circ =sin75^\circ +\dfrac{1}{4}\cdot cos75^\circ \ ;$  

Вычислим отдельно значение   $\bf sin75^\circ$  и    $\bf cos75^\circ$  .

$\bf sin75^\circ =sin(45^\circ +30^\circ )=sin45^\circ \cdot cos30^\circ +cos45^\circ \cdot sin30^\circ =\\\\\\=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt2\, (\sqrt3+1)}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$    

$\bf cos75^\circ =cos(45^\circ +30^\circ )=cos45^\circ \cdot cos30^\circ -sin45^\circ \cdot sin30^\circ =\\\\\\=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt2\, (\sqrt3-1)}{4}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$  

Подставим найденные значения тригонометрических функций .

$\bf sin75^\circ +sin15^\circ \cdot cos75^\circ \cdot cos15^\circ =sin75^\circ +\dfrac{1}{4}\cdot cos75^\circ =\\\\\\=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\dfrac{4\sqrt6+4\sqrt2+\sqrt6-\sqrt2}{16}=\dfrac{5\sqrt6+3\sqrt2}{4}\ne 0$  

Проверили и убедились, что   $\bf sin75^\circ +sin15^\circ \cdot cos75^\circ \cdot cos15^\circ \ne 0$   .