Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!! ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!

Answer 1

Ответ:

$\bf 2)\ \ D:\{\ x^2+y^2=4\ ,\ \ x+y=2\ ,\ \ y=0\ \}$              

б) Запишем двойной интеграл в виде повторного .

$\displaystyle \bf x^2+y^2=4\ \ \Rightarrow \ \ \ y=\pm \sqrt{1-x^2}\ \ ,\ \ x=\pm \sqrt{1-y^2}\\\\x+y=2\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y=2-x\ \ ,\ \ x=2-y\\\\\\\iint \limits _{D}\, f(x,y)\, dx\, dy=\int\limits_{-2}^0\, dx\int\limits_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\, f(x,y)\, dy+\int\limits_{0}^2\, dx\int\limits_0^{2-x}\, f(x,y)\, dy=\\\\\\=\int\limits_0^2\, dy\int\limits_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y}\, f(x,y)\, dx$      

в)  Найти площадь области .

$\displaystyle \bf S=\iint \limits _{D}\, dx\, dy=\int\limits_0^2\, dy\int\limits_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y}\, dx=\int\limits_0^2\, \Big(2-y-(-\sqrt{4-y^2})\Big)\, dy=$  

$\displaystyle \bf =\Big(2y-\frac{y^2}{2}\Big)\Big|_0^2+\int\limits_0^2\, \sqrt{4-y^2}\, dy=2+\int\limits_0^2\, \sqrt{4-y^2}\, dy\ ;$  

Вычислим отдельно неопределённый интеграл .

$\bf \displaystyle \int\, \sqrt{4-x^2}\, dx=\Big[\ x=2sint\ ,\ dx=2\, cost\, dt\ ,\ t=arcsin\frac{x}{2}\ \Big]=\\\\\\=\int \sqrt{4-4sin^2t}\cdot 2\, cost\, dt=\int 2\cdot cost\cdot 2\, cost\, dt=4\int cos^2t\, dt=\\\\\\=2\int (1+cos2t)\, dt=2\, \Big(t+\frac{1}{2}\, sin2x\Big)+C=2\, arcsin\frac{x}{2}+sin(2arcsin\frac{x}{2})+C=\\\\\\=2\, arcsin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\, x\, \sqrt{4-x^2}+C\ ;$

$\displaystyle \bf S=2+\int\limits_0^2\, \sqrt{4-y^2}\, dy=2+\Big(2\, arcsin\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\, y\, \sqrt{4-y^2}\Big)\Big|_0^2=\\\\\\=2+\Big(2\cdot \frac{\pi }{2}+0\Big)=2+\pi$  

3)   Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Найдём общее решение .

$\bf \displaystyle y'+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}\ \ ,\\\\\\\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\ \ ,\\\\\\arcsiny=-arcsinx+C\\\\y=sin(C-arcsinx)$