Question

Розв'яжіть нерівність f'(x) ≤ g'(x), якщо:
1) f(x)=e^x(x^2(-3x+1)), g(x)=2xe^x
2) f(x)=9^4x-1, g(x)=4*3^2x

Answer 1

Ответ:

Ниже

Пошаговое объяснение:

1) Спочатку знайдемо похідні функцій f(x) та g(x):

f'(x) = e^x(x^2(-3x+1) + 2x(-2x+1))

g'(x) = 2e^x(x + 1)

Тоді нерівність f'(x) ≤ g'(x) можна переписати у вигляді:

e^x(x^2(-3x+1) + 2x(-2x+1)) ≤ 2e^x(x+1)

Спрощуємо:

e^x(x^3 - 3x^2 + 2x) ≤ 2e^x(x+1)

x^3 - 3x^2 + 2x ≤ 2(x+1)

x^3 - 3x^2 + 2x ≤ 2x + 2

x^3 - 3x^2 ≤ 0

x^2(x - 3) ≤ 0

Звідси отримуємо інтервали, на яких нерівність буде виконуватись:

x ≤ 0, x ≥ 3

2) Знову знайдемо похідні функцій f(x) та g(x):

f'(x) = ln9 * 4 * 9^4x-1

g'(x) = ln3 * 4 * 3^2x

Нерівність f'(x) ≤ g'(x) можна переписати у вигляді:

ln9 * 4 * 9^4x-1 ≤ ln3 * 4 * 3^2x

ln(9/3) ≤ 2ln3x - 4ln9x + ln4 - ln4

ln(3) ≤ ln(3^2x/9^4x)

ln(3) ≤ ln(3^2x-4)

3 ≤ 3^2x-4

3 ≤ 9x-4

x ≥ 1/9