решите, пожалуйста
2. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через вершину A(-1, 3, 0) треугольника ABC и перпендикулярна медиане АМ этого треугольника, если В (0, 2, — 5), C (4, — 6, 1).
С-37. 1. Найдите точки пересечения прямой
6x+2y-z-9=0,
3x+2y+2z-12=0
с координатными плоскостями.
2. Точка М (x1, 2, 21) принадлежит прямой пересечения плоскостей 3x+3y-2z+5=0,2x-y+4z-12=0. Найдите координаты Х1, X2.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1.
Для начала найдем координаты точки M - середины стороны BC:
M = (B + C) / 2 = ((0, 2, -5) + (4, -6, 1)) / 2 = (2, -2, -2)
Затем найдем вектор, направленный вдоль медианы AM:
AM = M - A = (2, -2, -2) - (-1, 3, 0) = (3, -5, -2)
Так как плоскость должна быть перпендикулярна вектору AM, то нормальный вектор плоскости будет направлен вдоль векторного произведения векторов AM и AB:
n = AM x AB
где AB - вектор, направленный от точки A до точки B:
AB = B - A = (0, 2, -5) - (-1, 3, 0) = (1, -1, -5)
Вычислим векторное произведение:
n = AM x AB = (3, -5, -2) x (1, -1, -5) = (-23, -13, -8)
Теперь мы знаем, что нормальный вектор плоскости равен (-23, -13, -8). Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку A, мы можем использовать уравнение плоскости в общем виде:
Ax + By + Cz + D = 0
где A, B и C - координаты нормального вектора, а D - константа.
Подставляя значения, получаем:
-23x - 13y - 8z + D = 0
Чтобы найти константу D, подставим координаты точки A:
-23(-1) - 13(3) - 8(0) + D = 0
D = -23 + 39 = 16
Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной медиане AM, имеет вид:
-23x - 13y - 8z + 16 = 0
или
23x + 13y + 8z - 16 = 0
2.
Для начала, найдем направляющий вектор прямой. Для этого составим систему из двух уравнений, приведенных в задании прямой, и решим ее методом сложения или вычитания:
6x + 2y - z - 9 = 0
3x + 2y + 2z - 12 = 0
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго, чтобы устранить y:
9x + 4z - 18 = 0
Теперь можем записать направляющий вектор прямой в виде:
v = <9/4, 0, 1>
Найдем точку пересечения прямой с плоскостью xOy (z=0). Для этого подставим z=0 в уравнение прямой:
6x + 2y - 9 = 0
Решим это уравнение относительно одной из переменных, например, относительно x:
6x = -2y + 9
x = (-2/6)y + 3/2
Таким образом, получаем, что прямая пересекает плоскость xOy при каждой точке вида:
(x, y, z) = (-2/6)t + 3/2, t, 0
где t - произвольный параметр.
Аналогично находим точку пересечения прямой с плоскостью xOz (y=0):
6x - z - 9 = 0
Решаем это уравнение относительно x:
6x = z + 9
x = (1/6)z + 3/2
Таким образом, прямая пересекает плоскость xOz при каждой точке вида:
(x, y, z) = (1/6)t + 3/2, 0, t
где t - произвольный параметр.
Наконец, найдем точку пересечения прямой с плоскостью yOz (x=0):
2y - z - 9 = 0
Решаем это уравнение относительно y:
2y = z + 9
y = (1/2)z + 9/2
Таким образом, прямая пересекает плоскость yOz при каждой точке вида:
(x, y, z) = 0, (1/2)t + 9/2, t
где t - произвольный параметр.
Итак, мы нашли точки пересечения прямой с координатными плоскостями:
С плоскостью xOz: (1/6)t + 3/2, 0, t
С плоскостью yOz: 0, (1/2)t + 9/2, t
Здесь t - произвольный параметр, который задает точку пересечения прямой с каждой плоскостью. Можно заметить, что в каждом случае мы получаем прямую, которая пересекает соответствующую плоскость в точке с координатами, зависящими от параметра t.
Например, если взять t=0, то точки пересечения прямой с плоскостями будут следующими:
С плоскостью xOy: (3/2, 0, 0)
С плоскостью xOz: (3/2, 0, 0)
С плоскостью yOz: (0, 9/2, 0)
Это означает, что прямая проходит через точку (3/2, 0, 0) на плоскости xOy, точку (3/2, 0, 0) на плоскости xOz и точку (0, 9/2, 0) на плоскости yOz.
3.
Так как точка M принадлежит прямой пересечения данных плоскостей, то её координаты должны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей одновременно.
Подставим координаты точки M в уравнения плоскостей и получим систему уравнений:
3x1 + 3*2 - 2*21 + 5 = 0
2x1 - 2*21 - 12 = 0
Решая эту систему уравнений, получим:
3x1 - 37 = 0
2x1 - 54 = 0
Откуда x1 = 54/2 = 27.
Таким образом, координаты точки M равны (27, 2, 21).