Question

СРОЧНО!!!!! Математики, очень нужна Ваша помощь!
Надо не только ответ, нужно решение. Пожалуйста!!!

Решите неравенство:
3^x + 2 - 28⦁3^0,5x + 3 ≥0

Заранее большое спасибо!!!

Answer 1

Ответ:

Показательное неравенство .

$\bf 3^{x+2}-28\cdot 3^{0,5x}+3\geq 0\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\in \mathbb{R}\\\\9\cdot (3^{0,5x})^{2}-28\cdot 3^{0,5x}+3\geq 0$  

Сделаем замену :   $\bf t=3^{0,5x} > 0\ \ \Rightarrow \ \ 9\, t^2-28\cdot t+3\geq 0$  .

Решим квадратное неравенство .

$\bf D/4=(b/2)^2-ac=14^2-9\cdot 3=169\ \ ,\ \ t_{1,2}=\dfrac{14\pm \sqrt{169}}{9}\\\\t_1=\dfrac{14-13}{9}=\dfrac{1}{9}\ ,\ \ t_2=\dfrac{14+13}{9}=\dfrac{27}{9}=3\\\\(t-\dfrac{1}{9})(t-3)\geq 0$

Решением неравенства будет объединение множеств .

$\bf t\in (-\infty \, ;\ \dfrac{1}{9}\ ]\cup [\ 3\ ;+\infty \, )$  

Перейдём к старой переменной .

$\bf 0 < 3^{0,5x}\leq \dfrac{1}{9}\qquad ili\qquad 3^{0,5x}\geq 3\\\\0 < 3^{0,5x}\leq 3^{-2}\qquad ili\qquad 3^{0,5x}\geq 3^1$  

Так как показательная функция  $\bf y=3^{x}$  возрастающая , то сохранится знак между аргументами .  

$\bf 0,5x\leq -2\qquad \ \ \ ili\ \ \ \qquad 0,5x\geq 1\\\\x\leq -4\qquad \qquad \ \ ili\ \ \qquad \quad x\geq 2$    

Ответ:  $\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;-4\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty \, )}$  .