Question

Алгебра. Даю 100 балів. потрібно вирішити завдання з максимальним поясненням щоб було усе зрозуміло будь ласка.

з дуже детальним поясненням будь ласка

Answer 1

Ответ:   6,25  .

Уравнение окружности   $\bf x^2+y^2=25$  с центром в точке (0,0) и радиусом R=5 .

Выразим переменную  у  :   $\bf y=\pm \sqrt{25-x^2}$  .

Уравнение  $\bf y=-\sqrt{25-x^2}$  определяет нижнюю полуокружность , а

уравнение  $\bf y=\sqrt{25-x^2}$  определяет верхнюю полуокружность .

С помощью интеграла

     $\bf \displaystyle \int\limits_{-5}^0\, \sqrt{25-x^2}\, dx$   можно вычислить площадь области,

ограниченной верхней полуокружностью и прямыми  х= -5 ,  х=0  и

у=0  .  Но эту площадь можно вычислить как площадь четверти круга

с радиусом  R=5 :   $\bf S=\dfrac{1}{4}\cdot \pi R^2=\dfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 5^2=6,25\, \pi$   .

Тогда вычислим значение заданного выражения :

$\bf \displaystyle \frac{1}{\pi }\int\limits_{-5}^0\, \sqrt{25-x^2}\, dx=\frac{1}{\pi }\cdot 6,25\, \pi =6,25$