Question

Алгебра. Даю 100 балів. потрібно вирішити завдання з максимальним поясненням щоб було усе зрозуміло будь ласка.

з дуже детальним поясненням будь ласка

Answer 1

Ответ:

Уравнения и неравенства с модулями .

1)  Неравенство   $\bf |\, x\, |\leq a$   эквивалентно двойному неравенству  

$\boldsymbol{-a\leq x\leq a}$   .  Поэтому

$\bf |2x-5|\leq 7\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \ -7\leq 2x-5\leq 7\ \ ,\\\\-7+5\leq 2x\leq 7+5\ \ ,\ \ \ -2\leq 2x\leq 12\ \ ,\\\\-2:2\leq x\leq 12:2\ \ \ ,\ \ \ -1\leq x\leq 6$  

Ответ:  $\boldsymbol{\bf x\in [-1\ ;\ 6\ ]}$  .    

2)  Преобразуем сначала уравнение .

$\bf \Big|\, \dfrac{x}{x-1}\,\Big|+|\, x-2\, |=2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{|x|}{|x-1|}+|x-2|-2=0\ \ ,\\\\\\ODZ:\ \ |x-1|\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x-1\ne 0\ \ ,\ \ x\ne 1\\\\\\\dfrac{|x|+|x-1|\cdot |x-2|-2\cdot |x-1|}{|x-1|}=0$  

Модули обращаются в 0 при х=0 , х=1 , х=2 .

Рассмотрим уравнение на четырёх промежутках , на  (-∞ ; 0 ] , ( 0 ; 1 ] ,

( 1 ; 2 ] , ( 2 ; +∞ ) .  На каждом промежутке выражения под знаками модулей  будут иметь разные знаки и модули будут раскрываться по правилу :

$\bf |x|=\left\{\begin{array}{l}\bf x\ ,\ x\geq 0\ ,\\\bf -x\ ,\ x < 0\ .\end{array}\right$  

Если выражение под знаком модуля неотрицательно, то модуль этого выражения равен самому себе . А если выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль этого выражения равен противоположному выражению .

$\bf a)\ \ x\leq 0\ \ \Rightarrow \ \ |x|=-x\ ,\ |x-1|=-(x-1)=1-x\ ,\\\\|x-2|=-(x-2)=2-x\ \ ,\\\\\dfrac{|x|+|x-1|\cdot |x-2|-2\cdot |x-1|}{|x-1|}=\dfrac{-x+(1-x)(2-x)-2(1-x)}{1-x}=0\ \ ,\\\\-x+2-3x+x^2-2+2x=0\ \ ,\ \ x\ne 1\\\\x^2-2x=0\ \ ,\ \ x(x-2)=0\ \ ,\ \ \boxed{\bf \ x_1=0\ }\ ,\ x_2=2\notin (-\infty ;0\ ]$

Подходит значение  х = 0 , принадлежащее рассматриваемому промежутку .

$\bf b)\ \ 0 < x\leq 1\ \ \Rightarrow \ \ |x|=x\ ,\ |x-1|=-(x-1)=1-x\ ,\\\\|x-2|=-(x-2)=2-x\ \ ,\\\\\dfrac{|x|+|x-1|\cdot |x-2|-2\cdot |x-1|}{|x-1|}=\dfrac{x+(1-x)(2-x)-2(1-x)}{1-x}=0\ \ ,\\\\x+2-3x+x^2-2+2x=0\ \ ,\ \ x\ne 1\\\\x^2=0\ \ \ ,\ \ x=0\notin (\; 0\ ;\ 1\ ]$

Значение  х=0  не входит в рассматриваемый промежуток .

$\bf c)\ 1 < x\leq 2\ \ \Rightarrow \ \ |x|=x\ ,\ |x-1|=x-1\ ,\ |x-2|=-(x-2)=2-x\ \ ,\\\\\dfrac{|x|+|x-1|\cdot |x-2|-2\cdot |x-1|}{|x-1|}=\dfrac{x+(x-1)(2-x)-2(x-1)}{x-1}=0\ \ ,\\\\x+2x-x^2-2+x-2x+2=0\ \ ,\ \ x\ne 1\\\\-x^2+2x=0\ \ ,\ \ -x(x-2)=0\ \ ,\ \ x_1=0\notin (\; 1\ ;\ 2\ ]\ \ ,\ \ \boxed{\bf \ x_2=2\ }$

Подходит значение  х = 2 .

$\bf d)\ \ 2 < x < +\infty \ \ \Rightarrow \ \ |x|=x\ ,\ |x-1|=x-1\ ,\ |x-2|=x-2\ \ ,\\\\\dfrac{|x|+|x-1|\cdot |x-2|-2\cdot |x-1|}{|x-1|}=\dfrac{x+(x-1)(x-2)-2(x-1)}{x-1}=0\ \ ,\\\\x+x^2-3x+2-2x+2=0\ \ ,\ \ x\ne 1\\\\x^2-4x+4=0\ \ ,\ \ (x-2)^2=0\ \ ,\ \ x=2\notin (\; 2\ ;\+\infty \, )$  

х=2 не подходит .

Выбираем подходящие значения переменной .

Ответ:   $\bf x_1=0\ ,\ x_2=2\ .$  

3)  Аналогично решаем неравенство с модулем .

$\bf \dfrac{|x-3|}{|x-2|-1}\geq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{|x-3|}{|x-2|-1}-1\geq 0\ \ ,\ \ \dfrac{|x-3|-|x-2|+1}{|x-2|-1}\geq 0\\\\\\ODZ:\ |x-2|-1\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ |x-2|\ne 1\ \ ,\ \ x-2\ne \pm 1\ \ ,\ \ x\ne 1\ ,\ x\ne 3$

Модули обращаются в 0 при х=2 , х=3 , но в ОДЗ не входят х≠1 , x≠3 .

Рассматриваем промежутки  (-∞ ; 1 ) ∪ (1 ; 2 )  ,  [ 2 ; 3 )  ,  ( 3 ; +∞ ) .

$\bf a)\ \ x\in (-\infty\, ;\ 1\, )\cup (\ 1\, ;\, 2\ )\\\\|x-3|=-(x-3)=3-x\ \ ,\ \ |x-2|=-(x-2)=2-x\\\\\dfrac{|x-3|-|x-2|+1}{|x-2|-1}=\dfrac{3-x-(2-x)+1}{2-x-1}=\dfrac{2}{-(x-1)}\geq 0\ \ ,\ \ \dfrac{2}{x-1}\leq 0\ ,\\\\\\znaki:\ \ ----(1)+++(\, 2\, )\ \ ,\ \ \ \boxed{\bf \ x\in (-\infty \ ;\ 1\ )\ }$    

$\bf b)\ \ x\in [\ 2\, ;\, 3\, )\\\\|x-3|=-(x-3)=3-x\ \ ,\ \ |x-2|=x-2\\\\\dfrac{|x-3|-|x-2|+1}{|x-2|-1}=\dfrac{3-x-(x-2)+1}{x-2-1}=\dfrac{-2x+6}{x-3}\geq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{-2(x-3)}{x-3}\geq 0\ ,\ \ \ -2\geq 0$

Получили неверное неравенство .Значит на рассматриваемом промежутке нет решений .  

$\bf c)\ \ x\in (\ 3\, ;+\infty \, )\\\\|x-3|=x-3\ \ ,\ \ |x-2|=x-2\\\\\dfrac{|x-3|-|x-2|+1}{|x-2|-1}=\dfrac{x-3-(x-2)+1}{x-2-1}=\dfrac{0}{x-3}=0$  

Дробь равна 0 при любых значениях  х , входящих в указанный промежуток . Поэтому решением будут   $\boxed{\bf \ x\in (\, 3\, ;+\infty \, )\ }$   .

Ответ:  $\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;\ 1\ )\cup (\ 3\ ;+\infty \, )}$  .