Question

в приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность испортиться после 1000 часов работы равна 0,4. Прибор требует ремонта, если испортилось не менее двух предо- хранителей. Найдите вероятность того, что прибор потребует ре- монта после 1000 часов работы, если предохранителн портятся независимо друг от друга.​

Answer 1

Формула Бернулли. Пусть вероятность наступления некоторого события равна $p$. Тогда, вероятность наступления этого события $k$ раз в $n$ независимых испытаниях определяется по формуле:

$P_n(k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Пусть событие А = "Прибор потребует ремонта после 1000 часов работы". Нам нужно найти его вероятность. В данном случае удобно это сделать, используя противоположное событие: $\overline{A}$ = "Прибор не потребует ремонта после 1000 часов работы". Вероятности этих события связаны соотношением:

$P(A)=1-P(\overline{A})$

Рассмотрим, когда наступит противоположное событие. По условию, прибор требует ремонта, если испортилось не менее двух предохранителей. Следовательно, прибор не потребует ремонта, если испортилось менее двух предохранителей, то есть предохранители не испортились вовсе, или испортился только один предохранитель.

Для применения формулы Бернулли отметим, что 6 имеющихся предохранителям соответствуют 6 независимым их испытаниям. Вероятность выхода из строя в каждом из них: $p=0.4$. Нам необходимо рассмотреть ситуации, когда из этих 6 предохранителей испортятся 0 или 1, то есть ситуации с $k=0$ и $k=1$. Эти ситуации несовместны, поэтому вероятности этих события складываются.

Вероятность того, что прибор не потребует ремонта:

$P(\overline{A})=P_6(0)+P_6(1)$

$P(\overline{A})=C_6^0\cdot 0.4^0\cdot (1-0.4)^{6-0}+C_6^1\cdot 0.4^1\cdot (1-0.4)^{6-1}=$

$=1\cdot 1\cdot 0.6^6+6\cdot 0.4\cdot 0.6^5=0.23328$

Тогда, вероятность того, что прибор потребует ремонта:

$P(A)=1-P(\overline{A})$

$P(A)=1-0.23328=0.76672$

Ответ: 0.76672