1. Даны точки А (0; 3), В (3; - 6), С (6;3) доказать, что треугольник равнобедренный. Сделать чертеж. [4] 2. Напишите уравнение окружности с центром 0 (0;-5) и радиусом 2,3см [2] 3. . Докажите, что уравнение: х2 - 5x + y2 +4y + 4 =0 задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра [6] 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (5; - 2), В (-7; -3) [4] 5. Найдите координаты точки пересечения прямых 5х+2y-1=0их-у+4= 0 [4]
Ответы
Ответ:
1. Чертеж:
C (6;3)
/ \
/ \
A(0;3) B(3;-6)
Для доказательства равнобедренности треугольника нужно доказать, что две его стороны равны. Рассмотрим стороны AB и BC:
AB = sqrt((3-0)^2 + (-6-3)^2) = sqrt(9+81) = sqrt(90)
BC = sqrt((6-3)^2 + (3+6)^2) = sqrt(9+81) = sqrt(90)
AB = BC, значит треугольник равнобедренный.
2. Уравнение окружности:
(x-0)^2 + (y+5)^2 = 2.3^2
x^2 + (y+5)^2 = 5.29
3. Перепишем уравнение в виде:
x^2 - 5x + y^2 + 4y = -4
Завершаем квадраты:
(x - 5/2)^2 - 25/4 + (y + 2)^2 - 4 = -4
(x - 5/2)^2 + (y + 2)^2 = 25/4
Уравнение имеет вид (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где центр окружности имеет координаты (a,b), а радиус равен r. Значит, центр окружности имеет координаты (5/2, -2), а ее радиус равен 5/2.
4. Уравнение прямой:
Найдем угловой коэффициент прямой:
k = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-(-2))/(-7-5) = -1/6
Теперь используем уравнение прямой в общем виде:
y - y1 = k(x - x1)
y + 2 = (-1/6)(x - 5)
6y + 12 = -x + 5
x + 6y - 7 = 0
5. Найдем координаты точки пересечения прямых:
5x + 2y - 1 = 0
их - у + 4 = 0
Решим систему уравнений методом подстановки:
5x + 2y - 1 = 0
5х = 1 - 2у
их - у + 4 = 0
их = у - 4
Подставляем второе уравнение в первое:
5х = 1 - 2(их - 4)
5х = -2их + 9
5х + 2их = 9
7х = 9
х = 9/7
Подставляем найденное значение х во второе уравнение:
их - у + 4 = 0
9/7 - у + 4 = 0
у = 9/7 + 4
у = 37/7
Точка пересечения прямых имеет координаты (9/7, 37/7).