2. Неравенство (x-a (2x-1)(x+b)>0 имеет решение (-4; 0.5) U (5; 0). Найдите значения а и b.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для решения данного неравенства сначала необходимо найти корни квадратного трёхчлена (2x-1) вида:
(2x-1) = 0
2x = 1
x = 1/2
Мы знаем, что неравенство имеет решение (-4; 0.5) U (5; 0), то есть оно должно быть положительным в интервалах между корнями и отрицательным вне этих интервалов. Из таблицы знаков можно сделать вывод, что это выполняется, если:
(x - 1/2)(2x-1) > 0 при x < -4 или x > 5
(x - 1/2)(2x-1) < 0 при -4 < x < 0 или 0 < x < 1/2
Теперь мы можем рассмотреть каждый из интервалов отдельно:
При x < -4 или x > 5:
(x - 1/2)(2x-1) > 0
Так как (2x-1) всегда положительно на этом интервале, то знак (x - 1/2) совпадает со знаком всего выражения. Так как нам нужно, чтобы выражение было положительным, то нужно, чтобы (x - 1/2) также было положительным. То есть:
x - 1/2 > 0
x > 1/2
При -4 < x < 0 или 0 < x < 1/2:
(x - 1/2)(2x-1) < 0
Знак этого выражения зависит от знака (x - 1/2). Так как мы хотим, чтобы выражение было отрицательным, то (x - 1/2) должно быть отрицательным. То есть:
x - 1/2 < 0
x < 1/2
Теперь мы знаем, что значения а и b должны быть такими, чтобы неравенство имело решение (-4; 0.5) U (5; 0). То есть Для интервала (-4; 0.5):
a > 0, так как (x + a) должно быть положительным на этом интервале
b < 0, так как (x + b) должно быть отрицательным на этом интервале
Для интервала (0.5; 5):
a < 0, так как (x + a) должно быть отрицательным на этом интервале
b < 0, так как (x + b) должно быть отрицательным на этом интервале
Таким образом, мы получаем следующую систему неравенств:
a > 0, b < 0 для интервала (-4; 0.5)
a < 0, b < 0 для интервала (0.5; 5)
Решая эту систему, мы получаем:
a = -2
b = -3
Таким образом, значения a и b, при которых неравенство имеет решение (-4; 0.5) U (5; 0), равны -2 и -3 соответственно.