Question

Основа прямої призми прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Знайти об'єм призми, якщо діагональ бічної грані, що містить катет, протилежний куту а, утворює з площиною основи кут В.​

Answer 1

Ответ:

Объем призмы равен $\displaystyle \bf V=\frac{1}{2}c^3sin^2\alpha \;cos\beta \;tg\beta$

Пошаговое объяснение:

Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Найти объем призмы, если диагональ боковой грани, содержащей катет, противоположный углу α, образует с плоскостью основания угол β.​

Дано: АВСЕКМ - прямая призма;

ΔАВС - прямоугольный; АС = с; ∠ВАС = α

∠МВС = β;

Найти: V призмы.

Решение:

• Объем призмы равен:

      V = Sосн. · h,

где h - высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

АС = с; ∠ВАС = α

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \bf sin\alpha =\frac{BC}{AC};\;\;\;sin\alpha =\frac{BC}{c};\;\;\;BC=c\;sin\alpha \\\\\displaystyle \bf cos\alpha =\frac{AB}{AC};\;\;\;cos\alpha =\frac{AB}{c};\;\;\;AB=c\;cos\alpha$

⇒ площадь основания равна:

$\displaystyle \bf S_{OCH.}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot c\;sin\alpha \cdot c\;c\alpha os\alpha =\frac{1}{2}c^2\;sin\alpha\;cos\alpha$

2. Найдем высоту призмы.

Рассмотрим ΔВМС - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle \bf tg\beta =\frac{MC}{BC};\;\;\;tg\beta =\frac{MC}{c\;sin\alpha } ;\;\;\;MC=c\;sin\alpha \;tg\beta$

3. Найдем объем.

$\displaystyle \bf V=\frac{1}{2}c^2sin\alpha\;cos\alpha \cdot c\;sin\alpha \;tg\beta =\frac{1}{2}c^3sin^2\alpha \;cos\beta \;tg\beta$