дослідити функцію і побудувати графік f(x)=x/(x²-4)
Ответы
Ответ:
Нехай ми маємо функцію f(x) = x / (x² - 4)
Щоб зрозуміти поведінку цієї функції, ми можемо розділити її на дві під функції:
f(x) = x / (x+2)(x-2)
Тепер ми можемо побачити, що функція має вертикальні асимптоти x = 2 та x = -2, оскільки знаменник стає рівним нулю в цих точках.
Також, ми можемо проаналізувати знак функції на інтервалах між цими асимптотами:
- x < -2: в знаменнику (x+2) від'ємне число, а в (x-2) додатнє. Отже, f(x) < 0.
- -2 < x < 2: обидва множники в знаменнику додатні, але знак чисельника залежить від знаку x. Коли x підходить до -2 зліва, чисельник стає дуже від'ємним числом, тому f(x) стрімко падає до мінус нескінченності. Так само, коли x підходить до 2 зправа, чисельник стає дуже додатнім числом, тому f(x) стрімко росте до плюс нескінченності.
- x > 2: в знаменнику (x-2) від'ємне число, а в (x+2) додатнє. Отже, f(x) < 0.
Отже, графік функції f(x) буде мати вертикальні асимптоти в точках x = 2 та x = -2, а на інтервалах між цими асимптотами функція буде монотонно спадати (до -неcкінченності) на x < -2, рости (до +неcкінченності) на x > 2, та матиме максимум або мінімум в точці x = 0.
Ось графік функції f(x):
