Question

СРОЧНО!!! При якому значенні а рівняння має розв'язки sin²x-(a+3)sinx+2a+2=0

Answer 1

$\sin^2x-(a+3)\sin x+2a+2=0$

Заметим, что это уравнение квадратное при любых значениях а, так как старший коэффициент не зависит от а и равен 1.

Решаем квадратное уравнение относительно синуса. Находим дискриминант:

$D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot(2a+2)=$

$=a^2+6a+9-8a-8=a^2-2a+1=(a-1)^2$

Находим корни:

$\sin x=\dfrac{a+3\pm(a-1)}{2}$

$\sin x_1=\dfrac{a+3+(a-1)}{2} =\dfrac{a+3+a-1}{2} =\dfrac{2a+2}{2} =a+1$

$\sin x_2=\dfrac{a+3-(a-1)}{2} =\dfrac{a+3-a+1}{2} =\dfrac{4}{2} =2$

Так как синус любого аргумента принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, то второе полученное уравнение $\sin x_2=2$ не имеет корней. Первое полученное уравнение $\sin x_1=a+1$ будет иметь корни, когда его правая часть будет принимать значение из указанного отрезка:

$-1\leqslant a+1\leqslant1$

$-1-1\leqslant a\leqslant1-1$

$-2\leqslant a\leqslant0$

Таким образом, при $a\in[-2;\ 0]$ заданное уравнение имеет решения.

Ответ: при $a\in[-2;\ 0]$