3 точки А до кола з центром в точці о проведена дотична АВ. Відомо, що ОВ=9 см, ОА-АВ=3 см. Знайти відстань від точки А до центра кола і довжину дотичної.
Ответы
Для вирішення цієї задачі використаємо властивості тангенції та теорему Піфагора.
За властивістю тангенції, дотична до кола є перпендикуляром до радіуса, проведеного в точці дотику. Отже, ОА і АВ будуть перпендикулярними.
Згідно з теоремою Піфагора, у прямокутному трикутнику ОАВ виконується наступне співвідношення:
ОА² + АВ² = ОВ²
Замінюємо відомі значення:
(ОА + АВ)² = ОВ²
(ОА + 3)² = 9²
Розкриваємо квадрат скобок:
ОА² + 6ОА + 9 = 81
ОА² + 6ОА - 72 = 0
Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації або квадратного кореня:
(ОА - 6)(ОА + 12) = 0
Отже, ОА = 6 або ОА = -12. Оскільки довжина не може бути від'ємною, візьмемо ОА = 6 см.
Тепер ми можемо знайти відстань від точки А до центра кола, яка дорівнює радіусу, і довжину дотичної.
Радіус кола дорівнює ОА = 6 см.
Довжина дотичної АВ дорівнює ОВ - ОА = 9 - 6 = 3 см.
Отже, відстань від точки А до центра кола дорівнює 6 см, а довжина дотичної АВ дорівнює 3 см.