Question

Дан правильный треугольник, высота которого равна 8 см. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.​

Answer 1

Ответ:

В правильном треугольнике высота является медианой, биссектрисой и высотой одновременно. Вписанная окружность правильного треугольника касается каждой стороны в ее средней точке.

Радиус вписанной окружности равен отношению площади равностороннего треугольника к его полупериметру.

Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна:

$S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Полупериметр равен:

$p = \frac{3a}{2}$

Значит радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{\sqrt{3}}{4}a$

Мы знаем, что высота треугольника равна 8 см, а треугольник правильный, значит, каждый угол равен 60 градусам, а каждая сторона равна $a=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 4 см.