Question

ДАЮ 100 БАЛІВ!!!!AL бісектриса рівнобедреного ∆АВС (AB=BC), BL = a, <A=2а Знайдіть сторони трикутника і довжини його бісектрис​

Answer 1

Рассмотрим треугольник АВС. Так как АВ = ВС, угол при вершине В равен углу при вершине С, и третий угол также равен им, то треугольник АВС является равнобедренным. Поэтому, угол ВАС также равен a.

Из угла ВАС и теоремы синусов для треугольника АВС можно выразить сторону СВ через сторону АВ:

sin(a) = СВ / АВ

СВ = АВ * sin(a) = АВ * sin(2a/2) = 2 * АВ * sin(a/2) = 2 * АВ * √((1 - cos(a))/2) (формула половинного угла синуса)

Так как АВ = BC, то СВ = 2 * BC * √((1 - cos(a))/2)

По условию, BL = a, а значит, угол ВЛС также равен a. Из угла ВЛС и теоремы синусов для треугольника ВЛС можно выразить сторону СЛ через сторону ВЛ:

sin(a) = СЛ / ВЛ

СЛ = ВЛ * sin(a) = a * sin(a)

Из угла А и теоремы косинусов для треугольника АВЛ можно выразить сторону АЛ через стороны АВ и ВЛ:

cos(2a) = (АВ^2 + ВЛ^2 - АЛ^2) / (2 * АВ * ВЛ)

АЛ^2 = АВ^2 + ВЛ^2 - 2 * АВ * ВЛ * cos(2a)

АЛ = √(АВ^2 + ВЛ^2 - 2 * АВ * ВЛ * cos(2a))

Теперь, зная стороны СВ, СЛ и АЛ, мы можем найти длины биссектрис треугольника. Пусть D - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Тогда, по теореме биссектрис, отношение длины биссектрисы AD к длине биссектрисы CD равно отношению сторон AB к BC:

AD / CD = AB / BC = 1

Следовательно, AD = CD. Используя формулу для длины биссектрисы треугольника через стороны и угол между ними, имеем:

BD = (2 * СВ * СЛ * cos(a/2)) / (СВ + СЛ)

AD = (2 * АВ * ВЛ * cos(a)) / (АВ + ВЛ)

CD = AD

Таким образом, мы можем найти стороны треугольника и длины его биссектрис.