Question

Обчислити радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, бічна сторона й основа якого відповідно дорівнюють 10 см і 16 см. ​

Answer 1

Рассмотрим рисунок, где AB = AC = 10 см, BC = 16 см, M - середина BC, O - центр описанной окружности, R - радиус описанной окружности:

```
B
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A ----------------- C
M
|
O
|
R
```

Так как AB = AC, то угол BAC равен 60 градусов (по формуле для угла в равностороннем треугольнике). Из треугольника ABC по теореме Пифагора можно найти длину BM:

BM^2 = AB^2 - AM^2 = AB^2 - (BC/2)^2 = 10^2 - 8^2 = 36

BM = 6 см

Так как AM = MC = BC/2 = 8 см, то точка O - центр описанной окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе угла BAC, проходящей через точку M. Тогда OM - высота треугольника AOB, OP - радиус описанной окружности:

```
B
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A ----------------- C
M
|\
| \
| \
| \
O P
|
R
```

Так как угол AOB равен 120 градусов (сумма углов в окружности, соответствующих дуге AB), то угол OMB равен 60 градусов. Тогда по теореме косинусов для треугольника OMB:

OM^2 = OB^2 + BM^2 - 2 * OB * BM * cos(60°)

OM^2 = R^2 + (BC/2)^2 - BC * R

R^2 - BC * R + OM^2 - (BC/2)^2 = 0

Решая квадратное уравнение относительно R, получаем:

R = (BC ± √(BC^2 - 4 * OM^2)) / 2

R = (16 ± √(16^2 - 4 * 6^2)) / 2

R = (16 ± 14) / 2

R1 = 15 см, R2 = 1 см

Так как радиус должен быть положительным числом, то искомый радиус равен 15 см.