Question

Побудувати графік функції y=2x2-x4.

Answer 1

Ответ:

Дана функция y = 2x2 - x.

1.Область определения

функции: x ∈ R, ИЛИ -00 < x < 0.

2. Нули функции. Точки

пересечения графика функции с осью ОХ.

2x2-x=0, x=(2 - x ) = 0. Тогда x2 = 0 и (или) 2 - x²) x² - x² = 0.

x1 = 0.

X₂ = √2.

Xg=-2.

Точки пересечения графика функции с осью ОУ при x = 0 → y = 0.

3. Промежутки знакопостоянства

функции.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

По пункту 2 имеем 4 промежутка значений

аргумента, в которых функция сохраняет знак: (-00;-v2), (-v2;0), (0;V2), (V2;+00), Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, надо найти значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений.X= -2

-1

1

2

y=

-8

1 1 -8.

В промежутках (-00-~-~2) и (v2;+00) функция принимает отрицательные значения, в промежутках (-2;0) и (0;v2) функция принимает положительные значения.

4. Симметрия графика

(чётность или нечётность функции).

Проверим функци чётна или нечётна с

помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).

Итак, проверяем:

- x^{4} + 2 x^{2} = - x^{4} + 2 x^{2}

- Да

- X^[4]+2 x^[2] = - -1 x^[4] - 2 x^[2]

- Нет

Значит, функция является чётной.

5. Периодичность графика нет.

6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты нет.5. Периодичность графика нет.

6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, Вертикальные асимптоты нет.

7. Интервалы монотонности

функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Находим производную заданной функции:

y' =4x-4x³.

Приравниваем производную нулю: 4x 4x2 = - 4x(1 - x²) = 0,

4x=0, x = 0.

x2=1, x=1, x = -1.

Критических точек три: х = 0, x = 1, x = -1, Находим значения производной левее и правее от критических.

x = -2

-1

0

-0.5

0

0.5

1 2

y' = 24

-1.5

0

1.5

0 -24.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна- там убывает. Убывает на промежутках (-00, -1] U [0, oo). Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, 00).