Ответьте пожалуйста!!!!
Задание 3 (20 баллов).
Δ ABC ∼ Δ DEF. ∠ В = 20°, ∠ D : ∠ F = 5 : 3. Найдите углы Δ ABC.
Ответы
Из условия задачи имеем:
∠B = 180° - ∠A - ∠C (из суммы углов в треугольнике)
∠E = 180° - ∠D - ∠F (из суммы углов в треугольнике)
Также, по условию, треугольники ABC и DEF подобны:
АВ/DE = ВС/EF = AC/DF
Поэтому, можно записать:
AB/DE = ВС/EF
Заменим ВС на AC - AB:
AB/DE = (AC - AB)/EF
AB * EF = DE * (AC - AB) (умножаем на DE*EF)
AB * EF = AC * DE - AB * DE
AB * EF + AB * DE = AC * DE
AB * (EF + DE) = AC * DE
AB/AC = DE/(EF + DE)
Заменим в этом соотношении AB/AC на 1 - BC/AC:
1 - BC/AC = DE/(EF + DE)
BC/AC = 1 - DE/(EF + DE)
BC/AC = EF/(EF + DE)
Теперь найдем отношения соответствующих углов:
∠B : ∠E = AB/DE (из подобия треугольников)
∠B : ∠E = EF/AC (из полученного выше соотношения)
Из этих двух равенств получаем:
AB/DE = EF/AC
AB/AC = DE/EF
Таким образом, углы ΔABC и ΔDEF равны между собой, так как углы одного треугольника соответствуют углам другого треугольника с тем же отношением.
Так как ∠D : ∠F = 5 : 3, то ∠E : ∠F = 5 : 8 (обратные значения отношения).
Пусть ∠A = x. Тогда ∠C = 180 - ∠B - ∠A = 180 - 20 - x = 160 - x.
Таким образом, имеем две пропорции:
∠B : ∠E = 1 : 1
∠C : ∠F = (160 - x) : (8x/5)
Отсюда:
∠B/∠C = ∠E/∠F
20/(160 - x) = 1/(8x/5)
20 * 8x = (160 - x)
160x = 160
x = 1
Таким образом, ∠A = 1°, ∠B = 20°, ∠C = 159°.