Question

Задано вибірку:
x -2 -1 0 1 2 3
n 3 12 20 8 5 2
Знайдіть незміщену оцінку дисперсії.

Answer 1

Для знаходження незміщеної оцінки дисперсії, ми можемо скористатись формулою:

s^2 = (1 / (n - 1)) * Σ((x - x̄)^2 * n),

де:

s^2 - незміщена оцінка дисперсії,

n - кількість спостережень в вибірці,

x - значення змінної,

x̄ - середнє арифметичне значення.

Задана вибірка:

x: -2, -1, 0, 1, 2, 3

n: 3, 12, 20, 8, 5, 2

Спочатку обчислимо середнє арифметичне значення (x̄):

x̄ = (Σ(x * n)) / Σn

x̄ = ((-2 * 3) + (-1 * 12) + (0 * 20) + (1 * 8) + (2 * 5) + (3 * 2)) / (3 + 12 + 20 + 8 + 5 + 2)

= (-6 - 12 + 0 + 8 + 10 + 6) / 50

= 6 / 50

= 0.12

Тепер підставимо значення в формулу для обчислення незміщеної оцінки дисперсії:

s^2 = (1 / (n - 1)) * Σ((x - x̄)^2 * n)

s^2 = (1 / (50 - 1)) * ((-2 - 0.12)^2 * 3 + (-1 - 0.12)^2 * 12 + (0 - 0.12)^2 * 20 + (1 - 0.12)^2 * 8 + (2 - 0.12)^2 * 5 + (3 - 0.12)^2 * 2)

Обчислюємо вираз у дужках:

(-2 - 0.12)^2 * 3 = (-2.12)^2 * 3 = 4.4944 * 3 = 13.4832

(-1 - 0.12)^2 * 12 = (-1.12)^2 * 12 = 1.2544 * 12 = 15.0528

(0 - 0.12)^2 * 20 = (-0.12)^2 * 20 = 0.0144 * 20 = 0.288

(1 - 0.12)^2 * 8 = (0.88)^2 * 8 = 0.7744 * 8 = 6.1952

(2 - 0.12)^2 * 5 = (1.88)^2 * 5 = 3.5344 * 5 = 17.672

(3 - 0.12)^2 * 2 = (2.88)^2 * 2 = 8.2944 * 2 = 16.5888

Підставляємо обчислені значення у формулу:

s^2 = (1 / (50 - 1)) * (13.4832 + 15.0528 + 0.288 + 6.1952 + 17.672 + 16.5888)

Обчислюємо суму виразів у дужках:

s^2 = (1 / 49) * (69.2792)

Обчислюємо остаточний результат:

s^2 = 1.4126

Таким чином, незміщена оцінка дисперсії для даної вибірки становить 1.4126.