Question

Упростите выражение:
2sin²a · cos²a + (tan²a + cot²a) · cos²a · sin²a​

Answer 1

Основные формулы:

$\mathrm{tg}{\,}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$\mathrm{ctg}{\,}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Рассмотрим выражение:

$2\sin^2a\cdot \cos^2a + (\mathrm{tg}{\,}^2a + \mathrm{ctg}{\,}^2a) \cdot\cos^2a \cdot \sin^2a=$

$=2\sin^2a\cdot \cos^2a + \left(\dfrac{\sin^2a}{\cos^2a} +\dfrac{\cos^2a}{\sin^2a} \right) \cdot\cos^2a \cdot \sin^2a=$

$=2\sin^2a\cdot \cos^2a + \dfrac{\sin^2a}{\cos^2a} \cdot\cos^2a \cdot \sin^2a +\dfrac{\cos^2a}{\sin^2a} \cdot\cos^2a \cdot \sin^2a=$

$=2\sin^2a\cdot \cos^2a + \sin^2a \cdot \sin^2a +\cos^2a\cdot\cos^2a =$

$=2\sin^2a\cdot \cos^2a + \sin^4a +\cos^4a=$

$= (\sin^2a)^2 +2\sin^2a\cdot \cos^2a+(\cos^2a)^2= (\sin^2a+\cos^2a)^2=1^2=1$

Ответ: 1