Question

СРОЧНОООО! ИНТЕГРАЛ J cos³x sin x dx
Дам 15 баллов

Answer 1

Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Представим интеграл в виде:

∫cos³x sin x dx = ∫cos²x sin x * cos x dx

Здесь мы выбрали часть cos²x sin x для интегрирования, а часть cos x для дифференцирования. Проведем замену переменной, пусть u = cos x, тогда du/dx = -sin x, dx = -du/sin x. Подставим это в интеграл:

∫cos²x sin x * cos x dx = -∫cos²x sin x du

Мы получили новый интеграл, в котором один множитель является производной другого множителя, что позволяет использовать метод интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь v = sin x, тогда dv/dx = cos x, dx = dv/cos x. Подставим это в интеграл:

-∫cos²x sin x du = -∫u * dv

Здесь u = cos²x sin x, dv = sin x dx. Теперь мы можем проинтегрировать этот интеграл, получив:

-∫u * dv = -u * cos x + ∫cos²x dx

Мы можем выразить cos²x через cos 2x с помощью формулы двойного угла, а затем проинтегрировать полученное выражение:

∫cos²x dx = ∫(1 + cos 2x)/2 dx = x/2 + sin 2x/4 + C

Возвращаясь к исходному интегралу, мы можем подставить полученные выражения для ∫cos²x dx и для u:

∫cos³x sin x dx = -cos²x sin x/2 - sin 2x cos²x/4 + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.