Question

Касательная к окружности, вписанной в египетский треугольник, пересекает его катеты и отсекает от него прямоугольный треугольник. Найдите периметр отсечëнного треугольника.

Answer 1

Ответ:

Периметр отсеченного треугольника равен 2 ед.

Объяснение:

Касательная к окружности, вписанной в египетский треугольник, пересекает его катеты и отсекает от него прямоугольный треугольник. Найдите периметр отсеченного треугольника.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

Окр.(О,R) - вписанный;

МК - касательная;

Найти: Р(АМК)

Решение:

У египетского треугольника катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5.

⇒ АС = 3; АВ = 4; ВС = 5.

• Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник найдем по формуле:

                r = (a + b - c)/2,

где а и b - катеты; с - гипотенуза.

⇒ R = (3 + 4 - 5)/2 = 1

Рассмотрим АЕОН.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ОЕ ⊥ АВ;   ОН ⊥ АС.

∠А = 90°;  ОЕ = ОН = R

⇒ AEOH - квадрат.

• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АО = ЕН;   АО ⊥ ЕН;   АР = РО.

Рассмотрим ΔЕОН - прямоугольный,

ОЕ = ОН = 1

По теореме Пифагора:

ЕН² = ЕО² + ОН² = 2   ⇒ ЕН = √2

тогда АР = РО = √2/2

Рассмотрим ΔАМК и ΔАЕН - прямоугольные.

МК ⊥ АР;   ЕН ⊥ АР

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ МК || EH

• Лемма. Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔАМК ~ ΔАЕН

• Высоты подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

• Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

⇒ Р(АМК) : Р(АЕН)= АТ : АР

АТ = АО - ТО = √2 - 1

Р(АЕН) = 1 + 1 + √2 = 2 + √2

АР = √2/2

$\displaystyle \frac{P(AMK)}{2+\sqrt{2} } =\frac{(\sqrt{2}-1 )\cdot2}{\sqrt{2} } \\\\P(AMK)=\frac{(2+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2}-1)\cdot2 }{\sqrt{2} } =\\\\=\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1) \cdot2 }{\sqrt{2} } =2(2-1) = 2$

Периметр отсеченного треугольника равен 2 ед.

#SPJ1