Question

Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ
a) x ^ 2 - 4x + 1 >= 0
b) 2x ^ 2 - x - 4 < 0
c) - x ^ 2 - 3x - 8 > 0
d) - x ^ 2 + 16 >= 0
1. Неравенство не имеет решений.
2. Решением неравенства является вся числовая прямая
3. Решением неравенства является одна точка.
4. Решением неравенства является закрытый промежуток.
5. Решением неравенства является открытый промежуток.
6. Решением неравенства является объединение двух промежутков​

Answer 1

a) Решением данного неравенства является открытый промежуток. Однако, точнее его можно выразить в виде интервала (2 - sqrt(3), 2 + sqrt(3)). Это можно увидеть, решив квадратное уравнение x^2 - 4x + 1 = 0 и построив график функции y = x^2 - 4x + 1. На этом интервале значение функции не меньше нуля, а на остальных точках числовой оси - меньше.

b) Решением неравенства является объединение двух промежутков. Для его нахождения можно воспользоваться методом интервалов и заметить, что 2x^2 - x - 4 < 0 эквивалентно (-∞, r1) ∪ (r2, +∞), где r1 и r2 - корни соответствующего квадратного уравнения 2x^2 - x - 4 = 0.

c) Решением данного неравенства является открытый промежуток. Действительно, (-∞, -4) ∪ (-2, +∞) - это множество значений переменной x, при которых значение функции -x^2 - 3x - 8 больше нуля. Это можно убедиться, проанализировав знаки функции на соответствующих интервалах.

d) Решением неравенства является закрытый промежуток [-4, 4]. Значение функции -x^2 + 16 неотрицательно на этом отрезке и отрицательно на остальных точках числовой прямой.