Коло. Геометричні побудови HT 1 т 4. На рисунку точка О-центр кола радіуса R; MA, MBiPK - дотичнi до кола (А, В, С точки дотику вiдповiдно). Р трикутника MPK =56 CM. Знайти АМ.
Ответы
Объяснение:
За властивостями кола, дотична до кола у точці є перпендикуляром до радіуса, проведеного до цієї точки дотику.
Отже, ∠MPO = 90° і МО - радіус кола.
До того ж, так як OA є радіусом кола, то ∠OAM = 90°.
Позначимо ∠KPM як α, AK як х, а радіус кола як R.
Оскільки точки PMKB лежать на колі, то KP = KB.
Застосовуючи теорему косинусів у трикутнику KPM, отримуємо:
PK² = MP² + KM² - 2MP·KM·cosα
KM = 2R - MO = 2R - R = R
PK = KB = R
Тоді
R² = [MP² + R² - 2MP·R·cosα] + [R² - 2PK·R + PK²]
або
MP² - 2MP·R·cosα = -KP²
Тепер розв'яжемо трикутник АМK за теоремою Піфагора:
AK² + KM² = AM²
х² + R² = AM²
AM = √(x² + R²)
Оскільки, з властивості трикутника МКР,
∠KPM + ∠KPB = ∠MPB = 90°,
або α + ∠KPB = 90°,
то ∠KPB = 90° - α,
звідки cos(90° - α) = sinα.
Підставляючи це у вираз для PK, отримуємо:
R² = MP² + R² - 2MP·R·sinα + R² - 2R·R + R²
або
MP·sinα = 2R - MP
Тоді:
MP² - 2MP·R·cosα = -KP²
MP² - 2MP·R·sinα = -2R + MP
Розв'язуємо систему рівнянь:
MP² - 2MP·R·cosα = -KP²
MP² - 2MP·R·sinα = -2R + MP
(можна, наприклад, розв'язати друге рівняння відносно sinα і підставити в перше рівняння)
Отримаємо:
MP = (R² + KP²)/2R
Тоді:
х² + R² = AM²
х² + R² = (R² + KP²)/4R² + R²
4х²R² + 4R⁴ = R⁴ + KP² + 4R⁴
або
4х² = KP²/ R² + 3
Також, з теореми Піфагора у трикутнику ОMA, AM² + ОA² = 4R², тому
AM = √(4R² - ОA²)
але оскільки ∠OAM = 90°,
то ОМ = R.
Застосовуючи теорему Піфагора отримуємо:
AM² = ОA² + МО² = R² + R² = 2R²
Тоді:
4х² = KP²/ R² + 3 = (MP² - R²)/R² + 3
4х² = [((R² + KP²)/2R)² - R²]/R² + 3
4х² = [(R² + KP²)² - 4R⁴]/4R⁴ + 3
4х² = KP²/4R⁴ + 6
KP² = (4R⁴)·(4х² - 6)
Оскільки KP = KB = R, то
R² = MP² + R² - 2MP·R·sinα + R² - 2R² + R²
R² = MP² - 2MP·R·sinα
Або
MP² = R² + 2MP·R·sinα
Тоді
4х² = KP²/4R⁴ + 6
4х² = (4R⁴)·(4х² - 6)/4R⁴ + 6
4х² - 6 = (4х² - 6)/R² + 6
3R² = 4х²
або
AM = √(4R² - OА²) = √(3R²)
Отже,
AM = R·√3.
Отже, відповідь: АМ = R·√3.