Из точки А к окружности проведены две секущие АВ и АС, пересекающие окружность в точках N, M и L, K соответственно. Найдите длину АK, если MN=6 дм, АN=3 дм, АL=2 дм.
Ответы
Объяснение:
Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства секущих и касательных окружностей.
Из свойств секущих окружностей мы знаем, что произведение отрезков секущей, образованных внутри окружности, равно квадрату расстояния между точками пересечения секущей и окружности. То есть:
AN * AB = AM * AN = MN^2
AL * AC = AK * AL = LK^2
Известны значения AN, AL и MN, поэтому мы можем найти AB и AC:
AB = MN^2 / AN = 6^2 / 3 = 12 дм
AC = LK^2 / AL = 2^2 / 2 = 2 дм
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины АK:
AK^2 = AB^2 - BK^2 = AC^2 - CK^2
где BK и CK - это отрезки, образованные пересечением секущих и окружности.
Мы знаем, что AB = 12 дм и AC = 2 дм. Нам нужно найти BK и CK.
Из свойств касательных окружностей мы знаем, что отрезки, проведенные от точки касания касательной и окружности до точки пересечения секущей и окружности, равны между собой. То есть:
BN = CN
Из этого следует, что BK + KN = CK + KN, то есть BK = CK.
Таким образом, мы можем записать:
AK^2 = AB^2 - BK^2 = AC^2 - CK^2
AK^2 = 12^2 - BK^2 = 2^2 - BK^2
AK^2 = 144 - BK^2 = 4 - BK^2
BK^2 = 140 / 2 = 70
AK^2 = 144 - 70 = 74
AK = sqrt(74) ≈ 8.6 дм
Таким образом, длина АK составляет около 8.6 дм.