3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD, DK перпендикулярна ВС, DK=5,6 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.
Ответы
Ответ:
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB = α. Таким образом, ∠ADC = 180 - α. Также известно, что ∠ADK = 90, следовательно, ∠KDC = 90 - α.
Так как DK перпендикулярен BC и лежит на биссектрисе, то DK является медианой в треугольнике ADC. Воспользуемся теоремой о медиане:
DM^2 = 2 * DC^2 - DK^2,
где DM - расстояние от точки D до прямой AB, которое нам нужно найти.
Мы знаем, что DK = 5.6 см. Осталось найти DC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = DC. Отсюда следует, что BC = 2 * BD.
Используя свойство биссектрисы (BD / DC = AB / AC), получаем:
BD / DC = AB / AC => BD / BD = AB / AC => AB = AC.
Так как AB = AC и BD + DC = BC, то BD = DC = 0.5 * BC.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:
AB^2 = BD^2 + AD^2.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC и можно записать:
AC^2 = BD^2 + AD^2.
Теперь воспользуемся теоремой о медиане для треугольника ADC:
DM^2 = 2 * DC^2 - DK^2 => DM^2 = 2 * BD^2 - DK^2 => DM^2 = 2 * (AC^2 - AD^2) - DK^2.
Мы знаем значения AC^2 и DK^2, поэтому можем найти значение DM^2 и, следовательно, DM:
DM^2 = 2 * (AC^2 - AD^2) - (5.6)^2.
Теперь найдем длину стороны AC:
AC = √(BD^2 + AD^2) = √((0.5 * BC)^2 + AD^2).
Подставим это значение в выражение для DM^2 и найдем DM:
DM^2 = 2 * (AC^2 - AD^2) - (5.6)^2 => DM = √(2 * (AC^2 - AD^2) - (5.6)^2).
Объяснение: