найти lin(x/sin(x)) при x стремящемся к бесконечности СРОЧНО?!!
Ответы
Правило Лопиталя гласит, что если функции f(x) и g(x) имеют пределы 0/0 или бесконечность/бесконечность в точке c, и предел их производных f'(x)/g'(x) существует в окрестности точки c, то предел отношения f(x)/g(x) при x стремящемся к c будет равен пределу отношения f'(x)/g'(x).
Применяя это правило к функции f(x) = x/sin(x), мы можем найти предел, исследуя предел отношения производных функций.
Для начала вычислим производную функции f(x):
f'(x) = (1 * sin(x) - x * cos(x))/sin^2(x)
Теперь вычислим предел производной функции f'(x)/g'(x) при x стремящемся к бесконечности:
lim (x -> ∞) [f'(x)/g'(x)] = lim (x -> ∞) [(1 * sin(x) - x * cos(x))/sin^2(x)]
Поскольку предел производной функции f'(x)/g'(x) равен пределу функции f(x)/g(x), мы можем записать:
lim (x -> ∞) [x/sin(x)] = lim (x -> ∞) [(1 * sin(x) - x * cos(x))/sin^2(x)]
Теперь мы можем применить правило Лопиталя к пределу слева:
lim (x -> ∞) [(1 * sin(x) - x * cos(x))/sin^2(x)] = lim (x -> ∞) [cos(x) - cos(x) - x * (-sin(x))]/[2 * sin(x) * cos(x)]
lim (x -> ∞) [-x * (-sin(x))]/[2 * sin(x) * cos(x)] = lim (x -> ∞) [x]/[2 * cos(x)]
Поскольку функция cos(x) может принимать значения от -1 до 1, а предел x при x стремящемся к бесконечности неограничен, предел будет равен бесконечности:
lim (x -> ∞) [x]/[2 * cos(x)] = ∞
Таким образом, предел функции f(x) = x/sin(x) при x стремящемся к бесконечности равен бесконечности.