Question

Дана система тригонометрических уравнений:
4sinx*Sony=1/4
ctgx*ctgy=3​

Answer 1

Ответ:Первое уравнение можно переписать в виде: sinx*Sony=1/16

Заменим sinx и Sony на соответствующие им выражения через тангенсы: (sin(x)*cos(y))/(cos(x)*sin(y))=1/16

Умножим обе части уравнения на sin(x)*sin(y)*cos(x)*cos(y): sin^2(x)cos^2(y)=1/16cos^2(x)*sin^2(y)

Перепишем это уравнение в виде: 16sin^2(x)*cos^2(y)=cos^2(x)*16sin^2(y) 16sin^2(x)=16tan^2(x)*sin^2(y) sin(x)=sin(y)*tan(x)

Отсюда следует, что либо sin(x)=sin(y), либо tan(x)=0. Решим каждый из этих случаев:

а) Если sin(x)=sin(y), то система примет вид: sin(x)sin(y)=1/16 ctgxctgy=3

Из первого уравнения получаем, что sin^2(x)=1/16, откуда sin(x)=1/4 или sin(x)=-1/4. Так как sin(y)=sin(x), то sin(y)=1/4 или sin(y)=-1/4.

Подставив эти значения во второе уравнение, получим два набора решений: ctg(π/8)*ctg(π/8)=3 и ctg(5π/8)*ctg(5π/8)=3. Таким образом, первый набор решений составляют углы π/8 и 5π/8, а второй набор - углы 3π/8 и 7π/8.

б) Если tan(x)=0, то x=kπ, где k - целое число.

Значит, система примет вид: 4sin(kπ)*Sony=1/4 ctg(kπ)*ctgy=3

Так как sin(kπ)=0, то из первого уравнения следует, что Sony=±1/8. Подставив это значение во второе уравнение, получим два набора решений: ctgy=3/ctg(kπ) или ctgy=-3/ctg(kπ). Кроме того, ctg(kπ)=0 при k=1/2+n, где n - целое число. Подставив эти значения k и ctgy второго уравнения, получим еще несколько решений.

Таким образом, общее решение системы будет состоять из углов π/8, 3π/8, 5π/8, 7π/8, а также некоторых других углов вида kπ, где k - целое, удовлетворяющих второму уравнению

Объяснение: