три разных числа x y z образуют географическую прогрессию в указанном порядке а числа y x z образуют арифмотическую прогрессию.найдите знаменатель географической прогрессии
Ответы
Ответ: q = √((-1 + √5)/2).
Пошаговое объяснение: Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической и арифметической прогрессий.
Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель - q. Тогда:
y = aq,
x = aq^2,
z = aq^3.
Также из условия задачи известно, что числа y, x и z образуют арифметическую прогрессию. Значит, их разность будет постоянной:
x - y = y - z.
Подставим в эту формулу выражения для x, y и z, полученные выше:
aq^2 - aq = aq - aq^3.
Сократим на a и приведем подобные:
q^2 - 1 = q^4.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
q^4 + q^2 - 1 = 0.
Это уравнение четвертой степени, которое можно решить с помощью подстановки переменной. Положим q^2 = t, тогда получим квадратное уравнение:
t^2 + t - 1 = 0.
Его корни:
t1,2 = (-1 ± √5)/2.
Поскольку знаменатель q должен быть положительным числом, выбираем корень t1 = (-1 + √5)/2.
Тогда знаменатель геометрической прогрессии q = √t1 = √((-1 + √5)/2).