Question

Найти математическое ожидание числа натуральных делителей числа , равномерно случайно выбранного из натуральных делителей числа 144

Answer 1

Математическое ожидание вычисляется как сумма попарных произведение значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения достигаются:

$M(X)=\sum\limits_i x_ip_i$

По условию, делители числа 144 распределены равномерно. Значит, вероятность выбрать каждый из них одинакова:

$\forall i:\ p_i=\dfrac{1}{n_d}$, где $n_d$ - количество делителей числа 144

Подставим в формулу мат.ожидания:

$M(X)=\sum\limits_i \left(x_i\cdot \dfrac{1}{n_d} \right)=\dfrac{1}{n_d}\sum\limits_i x_i$

По сути, остается определить величину $\sum\limits_i x_i$, равную общему количеству делителей у делителей числа 144.

Обозначим: $n_{dd}=\sum\limits_i x_i$.

Уточнение о том, что мы ищем.

У числа 144 есть делители: 1, 2, 3, 4 и т.д.

У каждого из них есть свои делители:

- у числа 1 - 1 делитель,

- у числа 2 - 2 делителя,

- у числа 3 - 2 делителя,

- у числа 4 - 3 делителя и т.д.

Нам нужно определить сумму этих количеств делителей: 1+2+2+3+...

В целом, так как число 144 небольшое, все эти делители и их делители можно перебрать вручную. Но попробуем решить задачу в общем виде.

Число 144 разложим на простые множители:

$144=2^4\cdot3^2$

Тогда, рассмотрим число N вида:

$N=p_1^{n_1}p_2^{n_2},\ p_1,p_2\in\mathbb{P},\ n_1,n_2\in\mathbb{N}$

Определим общее количество делителей у делителей числа N.

Для краткости будем использовать обозначение:

СПИСОК - это все делители всех делителей числа N (без удаления повторяющихся). Собственно, количество чисел в списке нам нужно найти.

Рассмотрим частные случаи.

1) Заметим, что само число N является делителем только самого себя (как своего делителя) и не является делителем никакого другого своего делителя. То есть, число N встречается в списке ровно 1 раз.

2) Предположим, что из разложения числа N на простые множители мы уберем множитель $p_1$ в количестве $x$ штук, где $x\leqslant n_1$. Получим число $\dfrac{N}{p_1^x}$. Это число является делителем следующих чисел:

$N;\ \dfrac{N}{p_1};\ \dfrac{N}{p_1^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^x}$

Значит, полученное число $\dfrac{N}{p_1^x}$ встречается в списке (x+1) раз.

Общий случай. Рассмотрим, что произойдет, если из разложения числа N на простые множители мы уберем множитель $p_1$ в количестве $x$ штук и множитель $p_2$ в количестве $y$ штук, где $x\leqslant n_1$ и $y\leqslant n_2$. Получим число $\dfrac{N}{p_1^xp_2^y}$. Это число является делителем следующих чисел:

$N;\ \left(\dfrac{N}{p_1};\ \dfrac{N}{p_1^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^x}\right);\ \left(\dfrac{N}{p_2};\ \dfrac{N}{p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_2^y}\right);$

$\dfrac{N}{p_1p_2};\ \dfrac{N}{p_1p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1p_2^y};$

$\dfrac{N}{p_1^2p_2};\ \dfrac{N}{p_1^2p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^2p_2^y};$

...

$\dfrac{N}{p_1^xp_2};\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^y}$

Посчитаем количество выписанных чисел. В первой строке записано (1+x+y) чисел. В каждой из x оставшихся строк записано по y чисел. Значит, всего выписано чисел:

$1+x+y+xy=(x+1)(y+1)$

То же самое можно было понять, записав числа в другом порядке:

$N;\ \dfrac{N}{p_2};\ \dfrac{N}{p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_2^y};$

$\dfrac{N}{p_1};\ \dfrac{N}{p_1p_2};\ \dfrac{N}{p_1p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1p_2^y};$

...

$\dfrac{N}{p_1^x};\ \dfrac{N}{p_1^xp_2};\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^y}$

Теперь уже выписана (x+1) строка по (y+1) числу в каждой. Значит, всего чисел выписано (x+1)(y+1).

Тогда, число $\dfrac{N}{p_1^xp_2^y}$ встречается в списке (x+1)(y+1) раз.

Частный случай 2) по сути является общим случаем при $y=0$, а частный случай 1) - при $x=y=0$.

Остается найти сумму чисел вида (x+1)(y+1) при всех возможных значениях x и y:

$n_{dd}=\sum\limits_{x=0}^{n_1}\sum\limits_{y=0}^{n_2}(x+1)(y+1)=$

$=\Big(1\cdot1+1\cdot2+\ldots+1\cdot(n_2+1)\Big)+\Big(2\cdot1+2\cdot2+\ldots+2\cdot(n_2+1)\Big)+\ldots+$

$+\ldots+\Big((n_1+1)\cdot1+(n_1+1)\cdot2+\ldots+(n_1+1)\cdot(n_2+1)\Big)=$

$=1\cdot\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)+2\cdot\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)+\ldots+$

$+\ldots+(n_1+1)\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)=$

$=\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)\cdot\Big(1+2+\ldots+(n_1+1)\Big)=$

$=\left(\dfrac{1+(n_2+1)}{2}\cdot(n_2+1)\right)\cdot\left(\dfrac{1+(n_1+1)}{2}\cdot(n_1+1)\right)=$

$=\dfrac{(n_1+1)(n_1+2)(n_2+1)(n_2+2)}{4}$

Дорешаем задачу в общем виде. Для нахождения мат.ожидания нужно также определить число делителей числа N:

$n_d=(n_1+1)(n_2+1)$

Тогда, мат.ожидание:

$M(X)=\dfrac{1}{n_d}\cdot n_{dd}$

$M(X)=\dfrac{1}{(n_1+1)(n_2+1)}\cdot\dfrac{(n_1+1)(n_1+2)(n_2+1)(n_2+2)}{4}$

$M(X)=\dfrac{(n_1+2)(n_2+2)}{4}$

Возвращаемся к числу 144.

$N=144=2^4\cdot 3^2\Rightarrow n_1=4;\ n_2=2$

Получим:

$M(X)=\dfrac{(4+2)\cdot(2+2)}{4}=\dfrac{6\cdot4}{4}=6$

Ответ: 6