Question

В первой урне: 1 белый и 9 черных шаров; во-второй: 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили по одному мячу, а оставшиеся шары высыпали в третью (свободную) урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третей урны, окажется белым.

Answer 1

Рассмотрим первую урну. В ней 1 белый и 9 черных шаров, соответственно, всего в ней 10 шаров. Тогда, белый шар может быть удален из нее с вероятностью 1/10, черный - с вероятностью 9/10:

$p_1^\circ=\dfrac{1}{10} ;\ p_1^\bullet=\dfrac{9}{10}$

Рассмотрим вторую урну. В ней 5 белых и 1 черный шар, соответственно, всего в ней 6 шаров. Тогда, белый шар может быть удален из нее с вероятностью 5/6, черный - с вероятностью 1/6:

$p_2^\circ=\dfrac{5}{6} ;\ p_2^\bullet=\dfrac{1}{6}$

Рассмотрим третью урну.

Пусть событие А = "Из третьей урны достали белый шар".

Заметим, что в третьей урне в любой ситуации окажется 14 шаров, так как после удаления шара из первой урны в ней останется 9 шаров, а после удаления шара из второй урны в ней останется 5 шаров. Однако, состав шаров в третьей урне может быть разным.

Две пары вариантов удаления шаров образуют между собой 4 возможности (иначе говоря, гипотезы).

Гипотеза H₁. Из первой и из второй урны был удален белый шар. Произойдет это с вероятностью:

$p(H_1)=p_1^\circ p_2^\circ=\dfrac{1}{10} \cdot\dfrac{5}{6}$

В этом случае в третьей урне окажется 4 белых шара, вероятность достать белый шар равна 4/14:

$p(A|H_1)=\dfrac{4}{14}$

Гипотеза H₂. Из первой урны был удален белый шар, а из второй - черный шар. Произойдет это с вероятностью:

$p(H_2)=p_1^\circ p_2^\bullet=\dfrac{1}{10} \cdot\dfrac{1}{6}$

В этом случае в третьей урне окажется 5 белых шаров, вероятность достать такой шар равна 5/14:

$p(A|H_2)=\dfrac{5}{14}$

Гипотеза H₃. Из первой урны был удален черный шар, а из второй - белый шар. Произойдет это с вероятностью:

$p(H_3)=p_1^\bullet p_2^\circ=\dfrac{9}{10} \cdot\dfrac{5}{6}$

В этом случае в третьей урне также окажется 5 белых шаров, вероятность достать белый шар равна 5/14:

$p(A|H_3)=\dfrac{5}{14}$

Гипотеза H₄. Из обеих урн был удален черный шар. Произойдет это с вероятностью:

$p(H_4)=p_1^\bullet p_2^\bullet =\dfrac{9}{10} \cdot\dfrac{1}{6}$

В этом случае в третьей урне окажется 6 белых шаров, вероятность достать белый шар равна 6/14:

$p(A|H_4)=\dfrac{6}{14}$

Используя формулу полной вероятности, получим:

$p(A)=\sum\limits_{i=1}^4p(H_i)p(A|H_i)$

$p(A)=p(H_1)p(A|H_1)+p(H_2)p(A|H_2)+p(H_3)p(A|H_3)+p(H_4)p(A|H_4)$

$p(A)=\dfrac{1}{10} \cdot\dfrac{5}{6} \cdot\dfrac{4}{14} +\dfrac{1}{10} \cdot\dfrac{1}{6} \cdot\dfrac{5}{14} +\dfrac{9}{10} \cdot\dfrac{5}{6} \cdot\dfrac{5}{14} +\dfrac{9}{10} \cdot\dfrac{1}{6} \cdot\dfrac{6}{14} =$

$=\dfrac{1}{10\cdot6\cdot14} \cdot\left(1\cdot5\cdot4 +1\cdot1\cdot5 +9 \cdot5 \cdot5 +9 \cdot1 \cdot6\right) =$

$=\dfrac{1}{10\cdot6\cdot14} \cdot\left(20 +5 +225 +54\right) =\dfrac{304}{10\cdot6\cdot14}=\dfrac{38}{5\cdot3\cdot7}=\dfrac{38}{105}$

Ответ: 38/105