Question

Решите неравенства 1)sinx≥√3/2
2)tg2x≥√3
3)cos(2x-π/4)<√3/2

Answer 1

Решение неравенства sinx ≥ √3/2:

Сначала найдем все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx = √3/2. Так как sin(π/3) = √3/2, то x = π/3 или x = 2π/3.

Далее, так как sinx - монотонно возрастающая функция на интервале [0, π], то неравенство sinx ≥ √3/2 выполнено для всех x из интервала [π/3, π/2] и [3π/2, 2π].

Ответ: x ∈ [π/3, π/2] ∪ [3π/2, 2π].

Решение неравенства tg2x ≥ √3:

Заметим, что tg2x = 2tgx/(1-tg²x). Поэтому, неравенство tg2x ≥ √3 эквивалентно неравенству:

2tgx/(1-tg²x) ≥ √3.

Преобразуем это неравенство:

2tgx ≥ √3(1-tg²x) = √3 - √3tg²x.

tg²x(√3 - 2) + 2tgx - √3 ≥ 0.

Решаем квадратное неравенство относительно tgx:

D = 1 + 3(√3 - 2)² = 10 - 12√3 < 0.

Значит, tg²x(√3 - 2) + 2tgx - √3 < 0 для всех x.

Ответ: нет решений.

Решение неравенства cos(2x - π/4) < √3/2:

cos(2x - π/4) = cos2x/sqrt(2) + sin2x/sqrt(2). Поэтому, неравенство cos(2x - π/4) < √3/2 эквивалентно неравенству:

cos2x/sqrt(2) + sin2x/sqrt(2) < √3/2.

Перенесем все на одну сторону и возводим в квадрат:

cos²2x/2 - √3cos2x sin2x + sin²2x/2 < 3/4.

1/2 - sin4x/2 - √3cos2x sin2x < 3/4.

sin4x/2 + √3cos2x sin2x > -1/4.

sin4x + 2√3cos2x sin2x > -1/2.

(sin2x + √3cos2x)² - 3cos²2x > -1/4.

(sin2x + √3cos2x)² > 3/4.

|sin2x + √3cos2x| > √3/2.

Заметим, что |sin2x + √3cos2x| ≤ sqrt(2(1+cos2x)) = sqrt(4cos²(x) + 2)

Так как sin2x + √3cos2x ≥ 0 всегда, то из неравенства |sin2x + √3cos2x| > √3/2 следует, что sin2x + √3cos2x > √3/2.

Решим систему неравенств:

sin2x + √3cos2x > √3/2,

cos2x > 0.

Первое неравенство эквивалентно неравенству:

sin2x/√3 > cos2x/2.

Возведем обе части в квадрат и применим формулу cos2x = 1 - 2sin²x:

3sin²2x > cos²2x.

3sin²2x > 1 - 2sin²2x.

5sin²2x > 1.

sin²2x > 1/5.

Отсюда получаем, что |sin2x| > 1/√5.

Так как sin2x > 0, то sin2x > 1/√5.

Из условия cos2x > 0 следует, что x принадлежит одному из следующих интервалов: (0, π/4), (π/2, 3π/4), (π, 5π/4), (3π/2, 7π/4).

Таким образом, решение системы неравенств имеет вид:

x ∈ (0, π/4) ∪ (π/2, 3π/4) ∪ (π, 5π/4) ∪ (3π/2, 7π/4).

Ответ: x ∈ (0, π/4) ∪ (π/2, 3π/4) ∪ (π, 5π/4) ∪ (3π/2, 7π/4).