Точка О - центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, BC || AD, AB 1 AD, CD = 12 см, ZADC = 45°. Отрезок МО - пер- пендикуляр к плоскости трапеции. Точка М удалена от плоскости трапеции на 6√/2 см. Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции.
Ответы
Ответ:
Для решения задачи нам понадобится найти радиус вписанной окружности и координаты точки О. Затем мы сможем найти уравнения плоскостей, проходящих через стороны трапеции, и пересечение этих плоскостей с плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярную плоскости трапеции. Это пересечение даст нам точки, через которые проходят отрезки, проведенные из точки М к сторонам трапеции. Минимальное расстояние от точки М до сторон трапеции будет равно расстоянию от точки М до ближайшей из этих точек.
Найдем радиус вписанной окружности. Пусть E и F - точки касания окружности со сторонами AD и BC соответственно. Тогда поскольку ABCD - трапеция, AB || DC, то AE = DF. Пусть x = AE = DF - это длина касательной к окружности. Разность длин оснований трапеции AB и CD равна длине отрезка AD, то есть AB - CD = AD = x + 12. Также из условия ZADC = 45° следует, что AD = AC = 2x. Решая эти уравнения относительно x, получаем x = 6. Тогда радиус вписанной окружности равен r = x/√2 = 3√2.
Найдем теперь координаты точки О. Пусть O1, O2, O3 и O4 - центры окружностей, вписанных в треугольники AED, CFB, BEC и ADF соответственно. Очевидно, что точка О является точкой пересечения прямых, соединяющих середины отрезков O1O2, O2O3, O3O4 и O4O1. Так как AD = AC, то середина отрезка O1O4 лежит на прямой AC и делит ее пополам. Аналогично, середина отрезка O2O3 лежит на прямой BD и делит ее пополам. Пусть точки P и Q - середины отрезков O1O2 и O3O4 соответственно. Тогда P и Q лежат на биссектрисе угла BCD, которая делит этот угол пополам и пересекает сторону CD в точке R так, что CR = BC. Заметим, что треугольник BCD равнобедренный, поэтому BR = CD/2 = 6 с
Объяснение: