докажите, что (7/16)<(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+(1/5^2)+(1/6^2)+(1/7^2)+(1/8^2)+(1/9^2)+(1/10^2)+(1/11^2)+(1/12^2)+(1/13^2)+(1/14^2)+(1/15^2)<(14/15)
Ответы
Для доведення даного нерівності розглянемо дві частини: ліву та праву.
Доведення лівої частини:
Почнемо зі зведення доданків під одну загальну дріб, використовуючи формулу:
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 = Σ(1/n^2) з n = 1 до n = ∞
Знаємо, що Σ(1/n^2) є рядом, який збігається до константи П^2/6, де П - число Пі.
Тоді ми можемо оцінити суму перших 15 доданків, замінюючи решту суми на її оцінку П^2/6:
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < Σ(1/n^2) з n = 1 до n = ∞
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < П^2/6
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < (3.14159...)^2/6
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < 1.6449...
Приблизне значення лівої частини: 1.6449...
Доведення правої частини:
Другу частину можна оцінити, розглядаючи суму за наступним законом:
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1/1^2 + 1/12 + 1/2^2 + 1/23 + 1/3^2 + 1/34 + ... + 1/n^2 + 1/n(n+1)
Таким чином, ми можемо оцінити суму перших 15 доданків:
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < 1/1^2 + 1/12 + 1/2^2 + 1/23 + 1/3^2 + 1/34 + ... + 1/15^2 + 1/1516
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/