Question

2. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 7,5 см, а радиус малой окружности меньше на 4 см. Найдите расстояние мецентра​

Answer 1

Между касательными к окружностям, проходящими через точки касания окружностей, можно провести прямую, которая будет проходить через центры окружностей и точку касания. Обозначим эту точку между центрами окружностей за M.

Так как радиус малой окружности меньше на 4 см, то его длина равна 7,5 - 4 = 3,5 см. Также, обозначим расстояние от M до центра малой окружности за x. Тогда расстояние от M до центра большей окружности будет равно x + 4.

Создадим два прямоугольных треугольника, один из которых будет состоять из радиуса малой окружности, расстояния от M до центра малой окружности и расстояния от M до центра большей окружности. Второй треугольник будет состоять из радиуса большей окружности, расстояния от M до центра малой окружности и расстояния от M до центра большей окружности. Обозначим угол между линиями, соединяющими M с центрами окружностей, за α.

Тогда по теореме Пифагора для первого треугольника получим:

(3,5)² + x² = (7,5 - x - 4)²

12,25 + x² = (3,5 - x)²

Для второго треугольника:

(7,5 - x - 4)² + x² = 7,5²

Разрешим второе уравнение относительно x:

x² + (11,5 - x)² = 56,25

x² + 132,25 - 23x + x² = 56,25

2x² - 23x + 76 = 0

D = 23² - 4*2*76 = 225

x = (23 + √225)/4 = 6

Теперь можем найти расстояние от M до центра большей окружности:

x + 4 = 6 + 4 = 10

Ответ: расстояние между центрами окружностей равно 10 см.