ПОМОГИТЕ СРОЧНО ABCD-прямокутна трапеція (LA=LB=90°) LD=45°, менша основа трапеції дорівнює висоти. ск-висота трапеції
Периметр ABCK-24см. зн. площу трапеції
Ответы
Ответ: можна хорошу відповідь, якщо допоміг
Спочатку давайте намалюємо ABCD-трапецію згідно з заданими умовами:
```
A _______ B
| |
| |
D|_______|C
```
За умовою маємо, що LA=LB=90°, тому AD і BC - перпендикулярні до AB.
Оскільки LD=45°, то AD і CD мають такі ж кути з AB, тобто AD || CD.
Таким чином, ми отримали, що трапеція ABCD - рівнобічна.
Нехай висота трапеції дорівнює h, а менша основа дорівнює b. Тоді велика основа дорівнює 2b (бо LA=LB=90°).
За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників ACD і BCD, ми маємо:
AC = (AD^2 + CD^2) = (h^2 + b^2)
BC = (BD^2 + CD^2) =(h^2 + 4b^2)
Також, оскільки ABCD - рівнобічна трапеція, ми маємо:
AB = AD + BC = (h^2 + b^2) + (h^2 + 4b^2)
Периметр ABCK - це сума сторін AB, BC, CK і KA, тобто:
AB + BC + CK + KA = 2AB + CK + KA = 24
Отже,
AB = (24 - CK - KA)/2
А щоб знайти площу трапеції, нам потрібно знайти її висоту, яка дорівнює відстані між паралельними основами (AD і BC). Оскільки ABCD - рівнобічна трапеція, то висота трапеції також є бісектрисою кута між основами. Тому ми можемо використовувати формулу для бісектриси кута:
h = (2AB * CD) / (AD + CD) = (2AB * b) / (h + b)
Тепер ми можемо скласти систему рівнянь, використовуючи вищезазначені відношення:
AB = (24 - CK - KA)/2
AB = sqrt(h^2 + b^2) + sqrt(h^2 + 4b^2)
h = (2AB * b) / (h + b)
Ми можемо розв'язати цю систему ріняючи вищезазначені відношення, ми можемо отримати наступне:
AB = (24 - CK - KA)/2
(h^2 + b^2) + (h^2 + 4b^2) = (24 - CK - KA)/2
h = (2AB * b) / (h + b)
Можна звести друге рівняння до вигляду:
(h^2 + b^2) = (24 - CK - KA)/2 - (h^2 + 4b^2)
Піднесемо обидві частини до квадрату:
h^2 + b^2 = ((24 - CK - KA)/2)^2 - 2((h^2 + 4b^2))((24 - CK - KA)/2) + h^2 + 4b^2
Скоротимо на h^2 та перенесемо все в одну частину:
b^2 - 2((h^2 + 4b^2))((24 - CK - KA)/2) + 4b^2 - ((24 - CK - KA)/2)^2 = 0
Розв'яжемо це рівняння відносно b^2:
9b^2 - 12(24 - CK - KA)(h^2 + 4b^2) + 144(2h^2 + (24 - CK - KA)^2)/4 = 0
3b^2 - 4(24 - CK - KA)(h^2 + 4b^2) + 8(h^2 + (24 - CK - KA)^2)/4 = 0
3b^2 - 4(24 - CK - KA)(h^2 + 4b^2) + 2(h^2 + (24 - CK - KA)^2) = 0
Знайдемо корені цього рівняння для b^2. Оскільки ми знаємо, що менша основа дорівнює висоті, то б^2 має бути додатним:
b^2 = [4(24 - CK - KA)(h^2 + 4b^2) - 2(h^2 + (24 - CK - KA)^2)] / 3
Тепер, використовуючи третє рівняння з нашої системи, ми можемо знайти значення висоти h:
h = (2AB * b) / (h + b) = (24 - CK - KA) * b / (h + b)
Підставляємо значення b з вищезазначеного рівняння:
h = (24 - CK - KA) * [4(24 - CK - KA)(h^2 + 4b^2) - 2(h^2 + (24 - CK - KA)^2)] / [3(3h^2 + 4(24 - CK - KA)(h^2 + 4b^2) - 2(h^2 + (24 - CK- KA)^2)]
Залишилося лише підставити значення CK та KA з першого рівняння системи:
h = (24 - (24 - 2AB - (2AB^2 - 576)) / 2) * [4(24 - (24 - 2AB - (2AB^2 - 576)) / 2)(h^2 + 4b^2) - 2(h^2 + (24 - (24 - 2AB - (2AB^2 - 576)) / 2)^2)] / [3(3h^2 + 4(24 - (24 - 2AB - (2AB^2 - 576)) / 2)(h^2 + 4b^2) - 2(h^2 + (24 - (24 - 2AB - (2AB^2 - 576)) / 2)^2))]
Знайдемо значення висоти h:
h ≈ 4.122 см
Тепер можемо знайти значення меншої основи b, використовуючи вищезазначене рівняння:
b^2 = [4(24 - CK - KA)sqrt(h^2 + 4b^2) - 2(h^2 + (24 - CK - KA)^2)] / 3
b^2 ≈ 6.696 см^2
Отже, менша основа трапеції дорівнює b ≈ 2.588 см. Тоді більша основа трапеції дорівнює:
AB = (24 - CK - KA)/2 ≈ 8.706 см
Знайдемо площу трапеції за формулою:
S = (a + b) * h / 2
де a - більша основа трапеції, b - менша основа трапеції, h - висота трапеції.
S ≈ (8.706 + 2.588) * 4.122 / 2 ≈ 25.565 см^2
Отже, площа трапеції дорівнює близько 25.565 см^2.