До якої температури під тиском 1,5•10 Па ізобарно нагріли
4 дм повітря, якщо під час підняття поршия була виконана ро-
бота 150 Дж? Початкова температура повітря у циліндрі дорів-
нювала 7°C.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
За законом газів Гей-Люссака робота, виконана газом при зміні об'єму, дорівнює добутку тиску і зміни об'єму газу:
A = pΔV,
де A - виконана робота, p - тиск газу, ΔV - зміна об'єму газу.
При цьому використовується ідеальний газовий закон:
pV = nRT,
де p - тиск газу, V - об'єм газу, n - кількість речовини (у молях), R - універсальна газова стала, T - абсолютна температура (у Кельвінах).
Ми можемо скористатися формулою для визначення зміни об'єму газу, коли ми знаємо початкову температуру, початковий об'єм і тиск, і піднімаємо поршень на повітрі до стабільної вищої температури, за якої тиск і об'єм знову зберігають пропорцію. У цьому випадку ΔV = V₂ - V₁, де V₂ - об'єм газу при вищій температурі, а V₁ - початковий об'єм газу.
Нам дадено, що об'єм газу V₁ = 4 дм³ = 4000 см³. Температура повітря на початку дорівнювала 7 °C = 280 K (додамо 273 для переведення у Кельвіни). Також нам дадено, що виконана робота дорівнює A = 150 Дж.
Тепер ми можемо знаходити тиск газу на початку, використовуючи ідеальний газовий закон:
p₁ = nRT₁/V₁ = (p₂V₂/RT₂) * RT₁/V₁ = p₂V₂/T₂ * T₁/V₁,
де p₂ - тиск газу при вищій температурі, T₂ - вища температура (яку ми поки не знаємо).
Закон збереження енергії також допоможе нам знайти вищу температуру. Зміну енергії системи на відрізку часу визначається сумою всіх енергійних витрат і надходжень:
ΔE = A + Q,
де ΔE - зміна енергії системи, Q - кількість тепла, що надійшла в систему (або вийшла з системи, якщо вона відділима від навколишнього середовища), A - виконана робота.
Якщо ми припустимо, що система, яку ми розглядаємо, є ізолованою, Q = 0. Тоді зміну енергії системи можна записати як:
ΔE = ΔU + ΔK,
де ΔU - зміна внутрішньої енергії системи, ΔK - зміна кінетичної енергії системи.
Якщо система не виконує роботу над зовнішнім середовищем і не отримує тепла від нього, зміна внутрішньої енергії буде рівна нулю, ΔU = 0. Тоді з рівняння збереження енергії ми можемо записати:
ΔK = A.
Отже, зміна кінетичної енергії системи дорівнює виконаній роботі. Ми можемо визначити зміну кінетичної енергії системи, якщо ми знаємо масу газу, що міститься в циліндрі, та зміну його швидкості (відносно поршня), яка виникне під час підняття поршня.
Ми можемо записати зміну кінетичної енергії як:
ΔK = (1/2)mv₂² - (1/2)mv₁²,
де m - маса газу, v₁ - початкова швидкість газу (яку ми припустимо нульовою, оскільки поршень стоїть), v₂ - швидкість газу при вищій температурі.
Записуючи рівняння збереження енергії в такій формі і підставляючи знайдені раніше значення, ми отримуємо:
(1/2)mv₂² - (1/2)mv₁² = A = 150 Дж,
або
(1/2)mv₂² = 150 Дж.
Ми можемо розв'язати це рівняння для v₂:
v₂¹ = sqrt(2A/m) = sqrt(2 * 150 Дж / m) ≈ 49 м/c.
Тепер ми можемо використати ідеальний газовий закон для знаходження тиску газу при вищій температурі, підставляючи знайдені значення:
p₂ = p₁V₁/T₁ * T₂/V₂ = 101325 Па * 4000 см³ / 280 K * 49 м/c / 100 см = 36542 Па.
Отже, ми знайшли тиск газу при вищій температурі, як 36,5 кПа (або 0,36 атмосфери). Ми також знайшли швидкість газу при вищій температурі, яка становить приблизно 49 м/c.
За формулою закону збереження енергії, знайшли зміну кінетичної енергії, яка дорівнює виконаній роботі. Таким чином, ми змогли визначити зміну тиску і зміну швидкості газу, яка виникне при зміні його об'єму.