знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 90см
Ответы
Ответ:
Для рівнобедреного трикутника знайомі довжини двох сторін однакові, позначимо їх як x.
Оскільки периметр трикутника дорівнює сумі довжин його сторін, то маємо:
2x + b = 90,
де b - довжина третьої сторони.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то його висота, опущена на основу, є середньою лінією і дорівнює половині довжини третьої сторони, тобто h = b/2.
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини його основи на висоту:
S = (1/2)*x*h = (1/2)*x*(b/2) = (1/4)*x*b.
З формули для периметру трикутника, виразимо b:
b = 90 - 2x.
Тоді площа трикутника буде:
S = (1/4)*x*(90 - 2x) = (1/4)*(-2x^2 + 90x) = (-1/2)*x^2 + (45/2)*x.
Ми отримали квадратичну функцію від однієї змінної, яка має вигляд a*x^2 + b*x + c. Знайдемо вершину цієї параболи, яка визначає максимальне значення функції S:
x_vertex = -b/(2a) = -45/(-1) = 45.
Тоді площа трикутника буде максимальною при x = 45:
S_max = (-1/2)*45^2 + (45/2)*45 = 1012.5 кв.см.
Отже, площа рівнобедреного трикутника дорівнює 1012.5 кв.см.
Пошаговое объяснение:
Якщо трикутник є рівнобедреним, то його дві сторони мають однакову довжину, позначимо її як "a", а третя сторона має довжину "b". Тоді периметр трикутника дорівнює:
P = 2a + b
Але з умови задачі відомо, що периметр дорівнює 90 см. Тому ми можемо записати:
90 см = 2a + b
Також знайомо, що у рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є бісектрисою основи і ділить її на дві рівні частини. Отже, ми можемо побудувати прямокутний трикутник зі сторонами "a/2" та "h", де "h" - висота трикутника. Тоді за теоремою Піфагора ми можемо записати:
b^2 = (2h)^2 + a^2
Оскільки трикутник є рівнобедреним, то ми можемо записати:
h^2 = a^2 - (b/2)^2
Підставляючи це значення для "h" у вираз для b^2, ми отримуємо:
b^2 = 4a^2 - 4h^2 = 4a^2 - 4(a^2 - (b/2)^2) = 4b^2/4
Отже, ми отримали:
b^2 = 4a^2/3
Підставляючи отримане значення для "b" у вираз для периметру, ми отримуємо:
90 см = 2a + sqrt(4a^2/3)
Розв'язуючи це рівняння відносно "a", ми отримуємо:
a = 30 см / sqrt(3)
Тоді площа рівнобедреного трикутника буде:
S = (1/2) * b * h = (1/2) * a * sqrt(a^2 - (b/2)^2) = (1/2) * (30 см / sqrt(3)) * sqrt((30 см / sqrt(3))^2 - ((15 см) / 2)^2) ≈ 225 см^2
Отже, площа рівнобедреного трикутника дорівнює близько 225 см^2.