Question

Точки К(3; -1), M(-2; -4) и N(-1; 3) - середины сторон некоторого
треугольника.
Найди координаты вершин этого треугольника.

Answer 1

Решение.

Точки  К(3;-1) , М(-2;-4) , N(-1;3) - cередины сторон ΔАВС .

Пусть точка К - середина АВ ,  точка М - середина ВС ,  точка N - середина АС .

Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка . Запишем это .

$\bf x_{K}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ 2x_{K}=x_{A}+x_{B}$  

Аналогично получим :  

$\bf 2x_{M}=x_{B}+x_{C}\ \ ,\ \ \ 2x_{N}=x_{A}+x_{C}\\\\2y_{K}=y_{A}+y_{B}\ \ ,\ \ \ 2y_{M}=y_{B}+y_{C}\ \ ,\ \ \ 2y_{N}=y_{A}+y_{C}$

Теперь подставим вместо переменных известные числа из условия .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 6=x_{A}+x_{B}\\\bf -4=x_{B}+x_{C\\\bf -2=x_{A}+x_{C}\end{array}\right\ \ \ \bf \Rightarrow \ \ \ 6-4-2=2x_{A}+2x_{B}+2x_{C}\ \ ,\\\\\\2\, (x_{A}+x_{B}+x_{C})=0\ \ ,\ \ \ x_{A}+x_{B}+x_{C}=0$  

Теперь в последнее равенство подставляем известные суммы из системы :

$\left\{\begin{array}{l}\bf x_{A}+x_{B}+x_{C}=0\\\bf x_{A}+x_{B}=6\\\bf x_{B}+x_{C}=-4\\\bf x_{A}+x_{C}=-2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x_{A}+x_{B}+x_{C}=0\\\bf 6+x_{C}=0\\\bf -4+x_{A}=0\\\bf -2+x_{B}=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x_{A}+x_{B}+x_{C}=0\\\bf x_{C}=-6\\\bf x_{A}=4\\\bf x_{B}=2\end{array}\right$

Аналогично :

$\left\{\begin{array}{l}\bf -2=y_{A}+y_{B}\\\bf -8=y_{B}+y_{C\\\bf 6=y_{A}+y_{C}\end{array}\right\ \ \ \bf \Rightarrow \ \ \ -2-8+6=2y_{A}+2y_{B}+2y_{C}\ \ ,\\\\\\2\, (y_{A}+y_{B}+y_{C})=-4\ \ ,\ \ \ y_{A}+y_{B}+y_{C}=-2$

$\left\{\begin{array}{l}\bf y_{A}+y_{B}+y_{C}=-2\\\bf y_{A}+y_{B}=-2\\\bf y_{B}+y_{C}=-8\\\bf y_{A}+y_{C}=6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y_{A}+y_{B}+y_{C}=-2\\\bf -2+y_{C}=-2\\\bf -8+y_{A}=-2\\\bf 6+y_{B}=-2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y_{A}+y_{B}+y_{C}=-2\\\bf y_{C}=0\\\bf y_{A}=6\\\bf y_{B}=-8\end{array}\right$  

Ответ:  координаты вершин треугольника   A(4;6) , B(2;-8) , C(-6;0) .