Question

СРОЧНО 100 БАЛЛОВ!!!

При яких значеннях параметра а рівняння x^2-5ax+4/x-2 має єдиний корінь?

Answer 1

Ответ:

$a=-\frac{4}{5}$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:

x≠2

Теперь рассмотрим уравнение:

$x^{2} -5ax+4=0$

Это уравнение максимум может иметь два корня. Что может произойти, что исходное уравнение со знаменателем не имеет двух решений? Возможны два случая:

1)Дискриминант уравнения в числителе равен нулю:

$D=25a^{2} -16=0\\a=\frac{4}{5}\\ a=-\frac{4}{5}$

В таком случае уравнение имеет один корень, однако этот один корень может равняться двум, что не соответствует ОДЗ, тогда уравнение будет иметь ноль решений. Проверим:

$a=\frac{4}{5} \\x^{2} -4x+4=0\\(x-2)^{2} =0\\x=2$

При таком "а" решений нет

$a=-\frac{4}{5}\\x^{2} +4x+4=0\\(x+2)^{2} =0\\x=-2$

Это значение "а" подходит. Первый случай рассмотрен.

2) Уравнение имеет два корня, но один из корней не соответствует ОДЗ:

Тогда D>0

$a > \frac{4}{5}; \\a < -\frac{4}{5}$ Это совокупность.

Проверим, при каких значениях параметра одним из решений будет x=2, при таком "а" функция принимает нулевое значение.

$f(2)=4-10a+4=0\\a=\frac{4}{5}$

Это тот самый "а", при котором дискриминант равен 0, поэтому он нам не подходит(можно было сразу уже про него сказать, не рассматривая второй случай, но по мне проще расписать, чем писать, почему мы можем не рассматривать случай 2)

Итак, единственное значение параметра, при котором выполняется условие $a=-\frac{4}{5}$