Question

Производная функции sinx равна cosx. Верно ли, что производная функции 1/sinx равна 1/cosx? Если да, то почему? Если нет, то почему? Побольше объяснений желательно.

Answer 1

Рассмотрим функцию $y=\dfrac{1}{\sin x}$. Это сложная функция вида $y=f(g(x))$, где $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=\sin x$.

Производная сложной функции находится по формуле:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Основные формулы дифференцирования:

$(\sin x)'=\cos x$

$\left(\dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}$

Находим производную:

$y'=\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot(\sin x)' =-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot\cos x= \boxed{-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}}$

Таким образом, производная функции $y=\dfrac{1}{\sin x}$ не равна $\dfrac{1}{\cos x}$.