Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних.
Розв'яжіть рівняння :
1. 3x⁴+8x²-3=0
2. (x²+5x-14)/(x²-6x+8)=0
Ответы
Ответ:
1. Зробимо заміну y=x², тоді наше рівняння запишеться у вигляді 3y² + 8y - 3 = 0. Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою формули дискримінанту:
D = b² - 4ac = 8² - 4·3·(-3) = 100
y₁ = (-8 + √D) / (2·3) = (-8 + 10) / 6 = 1/3
y₂ = (-8 - √D) / (2·3) = (-8 - 10) / 6 = -3
Отже, y може бути або 1/3, або -3. Повертаємось до заміни з y на x² та записуємо два розв'язки:
x₁ = √(1/3) ≈ 0,58
x₂ = -√(1/3) ≈ -0,58
2. Знайдемо спочатку значення x, які призводять до нульового знаменника дробу в лівій частині рівняння. Знайдемо корені рівняння x² - 6x + 8 = 0:
D = b² - 4ac = 6² - 4·1·8 = 4
x₁ = (6 + √D) / 2 = 4
x₂ = (6 - √D) / 2 = 2
Отже, рівняння x² - 6x + 8 = 0 має корені x₁ = 4 та x₂ = 2. Тоді наше рівняння можна записати у вигляді:
(x² + 5x - 14) / ((x - 4)(x - 2)) = 0
Залишається розв'язати квадратне рівняння в чисельнику:
x² + 5x - 14 = 0
D = b² - 4ac = 5² + 4·14 = 81
x₁ = (-5 + √D) / 2 ≈ 1,44
x₂ = (-5 - √D) / 2 ≈ -6,44
Отже, рівняння має два корені x₁ ≈ 1,44 та x₂ ≈ -6,44. Однак, оскільки ми маємо умову, що дріб дорівнює нулю, то єдиним розв'язком є x = 2, оскільки тільки для цього значення x знаменник дробу дорівнює нулю.