У рівнобедренний трикутник ABC (AB = BC) вписали коло. Точки дотику кола зі сторонами
AB, BC, AC-M, N, K .відповідно.
BN = 7cM , KC = 4cM .Знайти периметр трикутника ABC.
Ответы
Ответ:
Позначимо радіус вписаного кола через r. Тоді маємо:
AM = CM = BM = BC / 2 = AB / 2
Також з піраміди БПНМ отримуємо:
BN² = BM·BP
звідки
BP = BN² / BM = (7cM)² / (AB / 2) = 98c²M / AB
Аналогічно, з піраміди АКМН маємо:
CK² = CM·CK
звідки
CK = √(CM·CK) = √(4cM·AB / 2) = 2√2c√(ABM)
Отже, периметр трикутника ABC дорівнює:
AB + BC + AC = AB + 2BM = AB + 2√(BN·BP) = AB + 2√(7cM·98c²M / AB) = AB + 14c√(AB/c)
де останній крок випливає з використання того, що BN = 7cM. Аналогічно, маємо
AC = 2√(CK·CM) = 2√2c√(ABM) і BC = AB, тому периметр можна записати як
AB + 2√(7cM·98c²M / AB) + 2√2c√(ABM)
Ми отримали вираз для периметра трикутника ABC через його сторони AB і c, тому потрібно знайти значення AB і c. Для цього використаємо рівняння БПН:
AB² = AM² + BM² = AM² + BC² / 4 = AM² + AB² / 4
звідки
AB² / 4 = AM²
і
AB = 2AM = BC
Отже, сторони трикутника ABC мають довжини BC = AB і AC = 2√2c√(ABM). З рівняння БПН маємо:
BM = √(AB² - AM²) = √(AB² - BC² / 4) = √(3AB² / 4)
Також маємо BN = 7cM і BP = 98c²M / AB. Підставляючи ці значення до виразу для периметра, отримуємо:
AB + 2√(7cM·98c²M / AB) + 2√2c√(ABM) = AB + 2√(7c·98c² / 4) + 2√2c√(3AB² / 4) = AB + 14c√(AB / 4) + 2√6c√(AB³ / 4)
= AB + 7c√AB
Объяснение: