Даю 26 балів! Терміново! Розв'яжіть рівняння:
х^2(х − 5) − (х − 2)^3 = х^2 − 4
4х^3 − 81х = 0
|х + у − 5| + х^2 − 6ху + 9у^2 = 0
7 − х + |х| ∙ х = 7|х|
Ответы
Решение:
№1. x^2(x - 5) - (x - 2)^3 = x^2 - 4
Раскрываем скобки:
x^3 - 5x^2 - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^2 - 4
Упрощаем:
x^3 - 5x^2 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = x^2 - 4
Переносим все в левую часть уравнения:
x^3 - 12x^2 + 12x + 12 = 0
Делим на 12:
x^3 - x^2 + x + 1 = 0
Поиск корней этого уравнения можно произвести численно или графически. Приближенно найденные корни равны примерно -0,754, 0,404 и 1,350.
№2. 4x^3 - 81x = 0
Выносим x за скобки:
x(4x^2 - 81) = 0
Решаем уравнение:
x = 0 или 4x^2 - 81 = 0
Переносим 81 на правую сторону:
4x^2 = 81
Извлекаем корень:
x = ±(81/4)^(1/2)
Таким образом, уравнение имеет корни x = 0 и x = ±(81/4)^(1/2).
№3
Рассмотрим выражение |х + у − 5|. Оно не может быть отрицательным, поэтому можем записать:
х + у − 5 + х^2 − 6ху + 9у^2 = 0
Переносим все слагаемые, содержащие х, в левую часть уравнения, а все слагаемые, содержащие y, в правую:
х^2 + (у - 3х)^2 - 2ух + 25 = 0
Мы получили квадратное уравнение относительно х. Решаем его, используя дискриминант:
D = 4у^2 - 4(у^2 - 25)
D = 100
Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Из выражения для дискриминанта видно, что он всегда положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня для любых значений у. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
х = (2у ± 10) / 2
х = у ± 5
Таким образом, решением исходного уравнения являются все удовлетворяющие этому уравнению пары (х, у), где х = у ± 5.
№4
Рассмотрим два случая:
1. Пусть x ≥ 0. Тогда выражение |х| равно x, и уравнение принимает вид:
7 − х + x^2 = 7x
Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
x^2 - 6x + 7 = 0
Решим это квадратное уравнение:
x1 = 1, x2 = 5
2. Пусть x < 0. Тогда выражение |х| равно -x, и уравнение принимает вид:
7 − х − x^2 = -7x
Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
x^2 + 6x - 7 = 0
Решим это квадратное уравнение:
x1 = -7, x2 = 1
Таким образом, уравнение имеет четыре корня: -7, 1, 5 при x ≥ 0, и -7 при x < 0.