Найдите промежутки монотонности и точки экстремума
1. y = x² + 1
2. y = 2x³ + 3x² - 12x + 5
Ответы
Ответ:
Функция y = x^2 + 1
Функция является параболой с ветвями, направленными вверх. Так как коэффициент при x^2 положительный, то функция всюду выпукла вверх. Следовательно, она монотонно возрастает на всей числовой прямой. Точек экстремума у данной функции нет.
Функция y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5
Найдем производную данной функции:
y' = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2)
Найдем корни уравнения x^2 + x - 2 = 0:
x1 = -2, x2 = 1
Таким образом, функция имеет стационарные точки в точках x = -2 и x = 1. Для определения их типа (минимум или максимум) необходимо проанализировать знаки второй производной функции:
y'' = 12x + 6
y''(-2) = -18 < 0, следовательно, точка x = -2 является точкой максимума.
y''(1) = 18 > 0, следовательно, точка x = 1 является точкой минимума.
Таким образом, функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -2) и монотонно убывает на интервале (-2, 1), после чего снова монотонно возрастает на интервале (1, +∞).
Итак, промежутки монотонности и точки экстремума для данных функций:
y = x^2 + 1
Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.
Точек экстремума у данной функции нет.
y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5
Функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -2).
Функция монотонно убывает на интервале (-2, 1).
Функция монотонно возрастает на интервале (1, +∞).
Точка x = -2 является точкой максимума.
Точка x = 1 является точкой минимума.