Найдите промежутки монотонности и точки экстремума
1. y = x² + 1
2. y = 2x³ + 3x² - 12x + 5
Ответы
Ответ:
1. Функция y = x² + 1 - это парабола с ветвями, направленными вверх, что означает, что она возрастает на всей числовой прямой. У нее нет экстремумов.
Промежутки монотонности: (-∞; +∞)
Точки экстремума: отсутствуют.
2. Функция y = 2x³ + 3x² - 12x + 5 имеет производную:
y' = 6x² + 6x - 12
Для нахождения точек экстремума решим уравнение y' = 0:
6x² + 6x - 12 = 6(x² + x - 2) = 6(x - 1)(x + 2) = 0
Таким образом, точки экстремума функции находятся в x = 1 и x = -2.
Проверим полученные точки экстремума на максимум и минимум путем анализа знаков производной в каждом интервале:
1) Для x < -2: y' < 0, y убывает. Значит, в этом интервале функция принимает наибольшее значение на конце интервала x = -2.
2) Для -2 < x < 1: y' > 0, y возрастает. Значит, в этом интервале функция принимает наименьшее значение в точке x = -2, а наибольшее значение в точке x = 1.
3) Для x > 1: y' > 0, y возрастает. Значит, в этом интервале функция принимает наибольшее значение на конце интервала x = +∞.
Таким образом, получаем:
Промежутки монотонности: (-∞; -2), (-2; 1), (1; +∞)
Точки экстремума: x = -2 (максимум), x = 1 (минимум)