ные отрезки
3. В равнобедренном треугольнике АВС к основанию AB проведена бис-
сектриса СК, точка К лежит на стороне АВ.
а) Найдите АК и ВК, если АВ равно 1) 12 см; 2) 25 мм; 3) 14,4 см;
длина ВК павна: 1) 3,4 см; 2) 5 мм; 3) 4,45 см
Ответы
Используем теорему биссектрисы: отрезок АК делит сторону АВ пропорционально отрезкам ВК и ВС. Пусть ВК = х.
Тогда, из треугольника АВК:
AK/BK=AC/BC ⇒ AK/x=(AB-x)/x ⇒ AK=x(AB-x)/x^2.
Найдем длину БС. В равнобедренном треугольнике БС = BC, поэтому:
BS^2 = AB^2 - AS^2 = AB^2 - (AK + KS)^2 = AB^2 - (AK + BK)^2.
Так как треугольник АВС равнобедренный, то AS = SC = BC / 2 = BS.
Тогда
BS^2 = AB^2 - (AK + BS / 2)^2
BS^2 = AB^2 - (x(AB-x)/x^2 + BS / 2)^2
BS^2 = AB^2 - (AB^2 - 2ABx + x^2 + BS^2 / 4)
Выражая BS^2 и решая полученное квадратное уравнение, получим:
BS^2 = 4x^2AB^2 / (4x^2 + AB^2)
а) При AB = 12 см и VK = 3,4 см:
x = VK = 3,4 см.
AK = 3,4 * (12 - 3,4) / 3,4 ≈ 8,6 см;
BS^2 = 4*3,4^2*12^2 / (4*3,4^2+12^2) ≈ 83,59 см^2;
BS ≈ 9,14 см.
б) При AB = 25 мм и VK = 5 мм:
x = VK = 5 мм.
AK = 5 * (25 - 5) / 5 ≈ 20 мм;
BS^2 = 4*5^2*25^2 / (4*5^2+25^2) ≈ 607,84 мм^2;
BS ≈ 24,67 мм.
в) При AB = 14,4 см и VK = 4,45 см:
x = VK = 4,45 см.
AK = 4,45 * (14,4 - 4,45) / 4,45 ≈ 9,50 см;
BS^2 = 4*4,45^2*14,4^2 / (4*4,45^2+14,4^2) ≈ 104,91 см^2;
BS ≈ 10,24 см.