Помогите!!! (распишите пожалуйста)
Висота правильної трикутної піраміди дорівнює Н, а двогранний кут піраміди при ребрі основи дорівнює . Знайдіть площу поверхні кулі, вписаної в дану піраміду
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї задачі потрібно знати формулу для площі поверхні кулі:
S = 4πr^2,
де S - площа поверхні кулі,
r - радіус кулі.
Також потрібно знати формулу для висоти піраміди:
h = N√3/3,
де h - висота піраміди,
N - довжина ребра основи.
Піраміда правильна, тому кут між бічною гранню і площиною основи дорівнює 60 градусам, а двогранний кут піраміди при ребрі основи дорівнює α. Отже, знаючи радіус вписаної кулі, можна знайти її площу поверхні, а це, в свою чергу, дасть відповідь на поставлене завдання.
Побудуємо підібрану піраміду з вершиною В і основою ABCD та вписану в неї кулю з центром в точці O:
B
/ | \
/ | \
A-----O-----C
\ | /
\ | /
D
Точка O - центр вписаної кулі.
Знайдемо висоту піраміди:
h = N√3/3,
де N - довжина ребра основи.
Рівняння кола можна отримати за формулою Піфагора в прямокутнім трикутнику AOB:
r^2 = (N/2)^2 + h^2.
Також в прямокутному трикутнику OBC:
tg (α/2) = (r / (N/2)).
Отже, можна виразити r через α та N:
r = (N/2) × tg (α/2).
Тепер можна обчислити площу поверхні кулі за формулою:
S = 4πr^2.
Отже, щоб знайти площу поверхні вписаної кулі в дану трикутну піраміду, потрібно знати довжину одного ребра основи (N), висоту піраміди (h) і двогранний кут піраміди при ребрі основи (α). Після знаходження радіуса кулі (r), можна обчислити площу поверхні кулі за формулою S = 4πr^2.